Функции, способы их задания, классификация

Пусть даны 2 непустых множества A={x ∣x ∈ A}, B={y ∣y ∈ B} пусть f - некоторое отношение между А и В, если пара (х, у) является элементом отношения f, то говорят, что элементу у соответствует элемент х или элементу х сопоставляется элемент у.

Отношение f между А и В, при котором каждому элементу из А соответствует не более одного элемента из В называется функцией.

Различают 4 способа задания функции:

х	х1	х2	х3	х4
у	у1	у2	у3	у4

1. Табличный. Указывается значение аргумента x и соответствующе значение функции y=f(x).

2. Аналитический. Является наиболее важным для МА (мат. анализа), поскольку методы МА (дифференциального, интегрального счисления) предполагают этот способ задания. Одна и та же функция может быть задана различными формулами: y=∣sin(x)∣y=√1−cos2(x).

3. Графический. Область определения -- проекция данного графика на Ох, а множество значений -- проекция Д(f) на Оу.

4. Словестный. Например, y=[x]: x из R (Целой частью х из R называют любое целое число не превосходящее х).

Имеет место следующая классификация функций:

1) Функция вида P_n (x)=a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n, где n ∊ N∪{0}, a₀, a₁, …, a_n ∊ R, называется целой рациональной функцией или многочленом степени n.

2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций

называется дробно иррациональной. Совокупность дробно иррациональных и целых рациональных называется рациональными функциями.

3) Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми так и с дробными показателями и не являющиеся рациональными называются иррациональными.

y=√x, f(x)=

Рациональные и иррациональные функции образуют класс алгебраических функций.

4) Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Элементарные функции

Алгебраические ф-ции Трансцендентные ф-ции

Рациональные ф-ции Иррациональные ф-ции

Целые ф-ции Дробные рац-ные ф-ции