Второй замечательный предел, его применение в финансовых вычислениях

Предел последовательности при n → ∞ называется вторым замечательным пределом. Этот предел равен числу е: = е = 2, 71

Положив а_n = 1 /п, получим = e

Доказательство. Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.