Перечень примерных контрольных вопросов и заданий

для самостоятельной работы:

1. Какие связи между параметрической, полярной и декартовой системой координат?

2. Верна ли обратная теорема к теореме Ферма?

3. Привести пример непрерывной функции, имеющей бесконечное число точек несуществования производной на конечном отрезке.

4. Дать геометрическую иллюстрацию теоремы Коши.

5. Какие условия необходимы и достаточны для строгого монотонного возрастания (убывания) дифференцируемой функции?

6. Как построить непрерывную кривую, сплошь заполняющую квадрат [0,1; 0,1] на плоскости R ²?

7. Доказать бесконечную дифференцируемость в точке функции

8. Вывести формулу для

9. Указать элементарные функции, для которых константа в формуле конечных приращений может быть конструктивно определена.

10. Рассмотреть пример функции и ее критической точки, когда неприменимы все 3 достаточных условия существования экстремума.

11. Доказать теорему: для того, чтобы непрерывная на функция была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы

12. Привести примеры функций, не интегрируемых в элементарных функциях.

13. Можно ли определить интеграл от неограниченной функции? на неограниченном промежутке?

14. Привести пример ограниченной неинтегрируемой по Риману функции.

15. Следует ли из интегрируемости интегрируемость ?

16. Найти связь между формулой Тейлора и формулой Лагранжа.

17.Найти связь между интегральной теоремой о среднем и дифференциальной теоремой о среднем (формула Лагранжа).

18. Каков геометрический смысл дифференциала дуги ?

19. Доказать теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости ограниченной функции по Риману.

20. Вычислить объем эллипсоида (и, следовательно, шара), конуса, пирамиды; площадь круга (эллипса) и задачи подобного рода, относящиеся к школьной математике.

Перечень вопросов к зачету(экзамену)

1. Мощность множества. Шкала мощностей (упорядочение, неограниченность сверху, линейность). Счетные множества. Несчетность континуума.

Построение шкалы мощностей с помощью факторизации по отношению эквивалентности. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность интервала и всей прямой. Теорема Кантора о высших мощностях. Счетность множества рациональных чисел. Мощности множеств

2. Аксиоматическое построение множества действительных чисел. Три теории действительных чисел.

Основные группы аксиом: сложение, умножение, порядок, связи, аксиома непрерывности. Лемма Кантора о вложенных отрезках. Натуральные числа, метод математической индукции. Подклассы (натуральные целые рациональные , иррациональные алгебраические , трансцендентные числа), их мощности. Теории действительных чисел Г.Кантора, Р.Дедекинда, К.Вейерштрасса (исторический анализ, различие и взаимосвязи).

3. Принцип Архимеда. Позиционные системы счисления. Двоичная система счисления и ЭВМ.

Формулировка и геометрическая трактовка принципа Архимеда. Приложение принципа Архимеда. Плотность множества в . Рациональное приближение действительных чисел. Позиционная система счисления, взаимный переход из одной системы счисления в другую. Запись информации в память ЭВМ, понятие бита и байта информации.

4. Отображения множеств, типы и классификация. Операции над отображениями

Отображение множеств (эволюция понятий, современная трактовка понятия функции). Типы отображений: инъекция, сюръекция, биекция. Классификация отображений: Операции над отображениями: арифметические, композиции, обращение, сужение, продолжение. Построить непрерывное продолжение показательной функции с на (провести доказательство непрерывности и теоремы сложения).

5. Основные элементарные функции, множество элементарных функций. Классификация элементарных функций. Неэлементарные функции.

Основные элементарные функции: постоянная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические; графики и основные свойства. Системы координат на плоскости и в пространстве: декартова, полярная, параметрическая, задание элементарных функций, взаимопереход различных систем координат. Мера угла, построение тригонометрических функций (вычисление площади сектора или длины дуги). Многочлены, рациональные, иррациональные, алгебраические, трансцендентные функции; примеры. Неэлементарные функции; примеры.

6. Предел функции в точке . Пространство Односторонние и бесконечные пределы. Признаки существования предела. Замечательные пределы.

Предел функции в точке (окрестностное определение), -язык, язык последовательностей (по Гейне). Эквивалентность -языка и языка Гейне. Предел последовательности. Алгебраическая структура и структура отношения порядка на множестве Замечательные пределы, число . Признаки существования предела.

7. Топология числовой прямой. Окрестность точки в Строение открытых и замкнутых множеств в

Окрестность точки в Отделимость окрестностей. Классификация точек: предельная, внутренняя и граничные точки множества. Строение открытых и замкнутых множеств в Методы решения неравенств, содержащих модуль.

8. Непрерывность функции в точке и на множестве. Алгебраическая структура и частичный порядок пространства

Непрерывность и разрывность функции. Разрывы 1 и 2 рода. Непрерывность основных элементарных функций; Алгебраическая структура и частичный порядок пространства. Использование непрерывности при нахождении предела функции.

9. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Метод Больцано.

Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса, непрерывность композиции и обращение (доказательство теоремы Больцано-Коши методом
Больцано).

10. Равномерная непрерывность функций на отрезке. Теорема Кантора.