Фрейм исходной базы учебных элементов

Преемственность школьной и вузовской математики проявляется в том числе и в том, что базовые учебные элементы школьной математики (знания, умения, навыки и математические методы) остаются таковыми и в вузовской математике (число, функция, предел, непрерывность, производная, интеграл и т.д.). Однако глубина осознания учеником существа понятия, теоремы, метода, процедуры существенно отличается как по целеполаганию, так и по содержанию и объему. В школьной математике большинство учебных элементов должно усваиваться на уровне базы данных, то есть ученик знает, умеет выполнять практические действия, но только на уровне репродукции и иногда переноса в новые ситуации. В вузовской же математике целью является достижение творческого уровня усвоения учебных элементов, когда осуществляется проникновение в существо понятия или теоремы, на высоком уровне самостоятельности, вариативности, новизны и критичности. Существо математического объекта проявляется через установление установочных связей базовых компонентов объекта с внешними математическими объектами, прочно усвоенными ранее. Это может быть достигнуто двумя путями: моделированием существенных и устойчивых внутренних связей и компонентов целостного математического объекта или широким показом вариативности качественных и количественных признаков объекта, образуя при этом гармоничное целое. Здесь математический объект проявляется уже на уровне базы знаний.

Но в подготовке компетентного учителя математики важен и третий уровень, когда школьный учебный элемент не только переходит из уровня базы данных в уровень базы знаний, но и фиксируется процедура получения математического знания, ее вариативность, доступность и устойчивость, существо которой и выражается наглядным моделированием. Например, понятие первообразной (неопределенного интеграла) в школьной математике, равно как техника интегрирования осваиваются на уровне базы данных.

Только позднее студент узнает, что рациональная дробь всегда интегрируется в конечном виде, а разложение на простейшие рациональные дроби есть следствие важной теоремы Коши из комплексного анализа и что первообразная функция абсолютно непрерывна. Эта информация в последующей профессиональной деятельности учителя может и забыться, но останется осознанное умение интегрировать рациональные дроби и навык интегрирования основных элементарных функций.

Поэтому так важно в управлении познавательной деятельностью студентов создать условия для непрерывного сохранения в памяти определенной информации так называемых "ночных" знаний, которые могут быть воспроизведены в любой необходимый момент и составляют основу профессионально важных школьных математических знаний, умений, навыков и методов. Последние особенно важны, так как отражают универсальный сквозной способ математической деятельности, системный характер математических правил и действий.

Сжатие информационно-деятельностной составляющей остаточных
учебных элементов осуществляется средствами фреймовых моделей. Основатель теории фреймов М.Минский дает следующее определение: "Фрейм (рамка) – это единица представления знаний, запомненная в прошлом, детали которой при необходимости могут быть изменены согласно текущей ситуации". В тех случаях, когда многое можно сказать о содержимом вершины сети целесообразен переход к фреймовому представлению, содержащему ячейки (слоты) и имена ячеек. Фрейм может иметь многоуровневую структуру. Наличие имен фреймов и имен слотов обеспечивает возможность внутренней интерпретируемости знаний, хранимых во фреймах, а также активизации фрейма за счет процедурных слотов. Таким образом, фреймовые модели удовлетворяют всем четырем основным требованиям к знаниям (внутренняя интерпретируемость, структурированность, связность и активность).

Для учебного материала I семестра фрейм остаточной базы определяется школьным математическим содержанием по учебному предмету "Алгебра и начала анализа".

Фрейм исходной базы школьных знаний представлен на следующей схеме:

Эффект достигается развертыванием спиралей фундирования базовых школьных учебных элементов и разнообразной контролирующей деятельностью, включая информационные технологии.

Примерные варианты контрольных работ

Контрольная работа N 1

Вариант I

1. Найти предел последовательности

2. Построить график функции c помощью элементарных преобразований

3. Построить график функции умножением графиков

4. Вычислить значение выражения, применяя первый замечательный предел

5. Найти значение выражения, воспользовавшись вторым замечательным пределом

Вариант II

1. Найти предел последовательности

2. Построить график функции c помощью элементарных преобразований

3. Построить график функции, применяя правило умножения графиков

4. Вычислить значение выражения, применяя первый замечательный предел

5. Найти значение выражения, воспользовавшись вторым замечательным пределом

Контрольная работа N 2

Вариант I

1. Вычислить производную функции

2. В какой точке касательная к параболе

а) паралельна прямой

б) перпендикулярна прямой

с) образует с прямой угол угол в .

3. Исследовать функцию и построить график

4. Вычислить значение выражения с помощью правила Лопиталя

5. Вычислить неопределённый интеграл

6. Вычислить определённый интеграл

Вариант II

1. Вычислить производную функции

2. На параболе взяты две точки с абсциссами

Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к не й будет

паралельна проведённой секущей?

3. Исследовать функцию и построить график

4. Вычислить значение выражения с помощью правила Лопиталя

5. Вычислить неопределённый интеграл

6. Вычислить определённый интеграл

Контрольная работа N 3

Вариант I

1. Найти сумму ряда

2. Исследовать положительный ряд на сходимость с помощью признака Даламбера

3. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Коши

4. Исследовать ряды на сходимость с помощью признаков сравнения

5. Найти область сходимости степенного ряда

6. Используя разложения основных элементарных функций, найти следующий предел

Вариант II

1. Найти сумму ряда

2. Исследовать положительный ряд на сходимость с помощью признака Даламбера

3. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Коши

4. Исследовать ряды на сходимость с помощью признаков сравнения

5. Найти область сходимости степенного ряда

6. Используя разложения основных элементарных функций, найти следующий предел

Контрольная работа N 4

Вариант I

1. Найти дифференциал второго порядка

где .

2. Исследовать на экстремум функцию

3. Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

,

если D – кольцо между окружностями и .

4. Найти площадь части поверхности вырезанной цилиндром, , расположенной в первом октанте.

5. Вычислить криволинейный интеграл

,

где C – окружность, , пробегаемая против хода часовой стрелки.

Вариант II

1. Найти дифференциал второго порядка

где .

2. Исследовать на экстремум функцию

3. Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

,

если D – первая четверть круга .

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

5. Вычислить криволинейный интеграл

,

где C – эллипс, , пробегаемая против хода часовой стрелки.

Контрольная работа N 5

Вариант I

1. Дана действительная часть функции дифференцируемой функции , где . Найти функцию , если

2. Вычислить интеграл с помощью вычетов

3. Проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение первого порядка

4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

5. Какова мощность множества всех -ичных дробей при заданном ?

5. Доказать, что множество всех действительных чисел с введённым расстоянием

является метрическим пространством?

Вариант II

1. Дана действительная часть функции дифференцируемой функции , где . Найти функцию , если

2. Вычислить интеграл с помощью вычетов

3. Проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение первого порядка

4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

5. Какова мощность всех последовательностей натуральных чисел?

6. Показать, что является метрикой в множестве всех чисел?