Математическое ожидание случайной величины дискретного типа

Математическое ожидание - важнейшая “характеристика положения" случайной величины. Для дискретной величины она вычисляется по формуле

М (Х) = x_{1 ·} p₁ + x_{2 ·} p₂ +. + x_{k ·} p_{k (}+.) = ,

где x₁, x₂,., x_k,.  возможные значения случайной величины (верхняя строка таблицы), p₁, p₂,., p_k,.  их вероятности (нижняя строка).

Математическое ожидание  это число, которое выражает среднее значение случайной величины (иначе, среднее значение по распределению). Для примера из §13

М (Х₁) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1.

Здесь Х₁  число “орлов”, выпавших при 2 бросках симметричной монеты. М (Х₁)  среднее число “орлов”, выпадающих при 2 бросках симметричной монеты, это число равно 1.

Для другого примера из §13 М (Х₂) = 6.

Отметим два простейших свойства математического ожидания:

1. М (С) = С

2. М (С · Х) = С · М (Х) (С  постоянная).

В дальнейшем нам придется вычислять математическое ожидание случайной величины Х². Если случайная величина Х задается таблицей

X	x1	x2	.	xk
P	p1	p2	.	pk

то случайная величина Х² получится после возведения в квадрат возможных значений случайной величины Х, при этом

Р (Х = х_к) = = Р (Х² = х_к²) = p_k:

X2	x12	x22	.	xk2
P	p1	p2	.	pk

Поэтому

М (Х²) = x₁² · p₁ + x₂² · p₂ +. + x_k² · p_k = .

В частности, для примера из §13

X2	02	12	22
P	0,25	0,5	0,25

и М (Х²) = 0^{2 ·} 0,25 + 1² · 0,5 + 2² · 0,25 = 1,5