Повторные независимые испытания. Пусть проводится n последовательных испытаний

Пусть проводится n последовательных испытаний. Предположим, что эти испытания независимые, т.е. вероятность осуществления очередного исхода не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Рассмотрим простейший случай, когда различных исходов всего два (“успех" и “неуспех”). Более того, речь пойдет о случае, когда вероятность “успеха" в каждом из испытаний неизменна и равна p, т.е. вероятность “неуспеха" также неизменна и равна q = 1 p. Такие испытания называются испытаниями Бернулли.

Простейшими примерами здесь могут служить: последовательное бросание монеты (с вероятностью “успеха"  выпадения “орла"  равной 0,5); последовательная стрельба по мишени с постоянной вероятностью “успеха"  попадания  в каждом выстреле; извлечение из урны, содержащей шары двух цветов, по одному шару с возвращением (и перемешиванием); и т.д.

Я. Бернулли вычислил вероятность того, что в n последовательных “испытаниях Бернулли” произойдет ровно k “успехов”

(о вычислении числа см. §4).

Пример 1. Вероятность того, что при 4 бросках игральной кости выпадут ровно 2 “четверки”, равна

Здесь p  вероятность выпадения “четверки" в одном броске  равна 1/6, q = 5/6, общее число испытаний n = 4, число “успехов” k = 2.

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6. Какова вероятность, что при пяти выстрелах будет 3 попадания?

Здесь

n = 5, k = 3, q = 1

p = 0,4, .

Пример 3. В урне 4 белых и 2 черных шара.6 раз извлекают по 1 шару, записывают цвет, а шар возвращают в урну и перемешивают шары. Какова вероятность, что среди записанных шаров более 4 белых?

Пусть “успех” состоит в том, что вынут белый шар. Тогда p= 4/6 = 2/3 (из 6 шаров 4 белых), q = 1  p = 1/3. По условию n= 6, k = 5 или k = 6, откуда искомая вероятность

.

Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6. Какова вероятность, что третье попадание произойдет в пятом выстреле?

Эта задача отличается от рассмотренной в примере 2: там третье попадание может произойти и раньше пятого выстрела. Искомое событие является произведением двух следующих (независимых): А = {в первых 4 выстрелах ровно 2 попадания} и В={в пятом выстреле попадание}. P (A) вычисляется по формуле Бернулли

,

a P (B) = p = 0,6. Поэтому искомая вероятность равна

В общем случае вероятность того, что к-й “успех” произойдет ровно в n-м испытании Бернулли, равна

.

Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6. Какова вероятность, что в 5 выстрелах произойдет хотя бы 2 попадания?

Мы знаем, что Р₅ (0) + Р₅ (1) + Р₅ (2) + Р₅ (3) + Р₅ (4) + Р₅ (5) = 1. В данной задаче нас интересует сумма четырех последних слагаемых:

Заметим, что проще воспользоваться вероятностью противоположного события: 1- P₅ (0) P₅ (1) =1-0,4⁵5 0,4⁴ 0,6 = 0,91296.