Нормальный закон распределения и его характеристики

Нормальный (гауссовский) закон распределения задается плотностью распределения по формуле

,  ¥<x <¥

Числа а Î R и s> 0 называются параметрами нормального закона. Нормальный закон с такими параметрами обозначается N (a,s).

При а = 0 функция f (x) четная (f (x) = f (x)), ее график симметричен относительно оси OY, и поэтому среднее значение М (Х) = 0. График f (x) для закона N (a,s) получается из графика f (x) для N (0,s) сдвигом на а единиц вправо (это известно из курса средней школы), поэтому в общем случае М (Х) = а для нормального закона.

Дисперсия же вычисляется по формуле D (X) =s².

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

. Найти А, М (Х), D (X), P (3<X<3).

Т.к. , то

Показатель экспоненты приравняем к , откуда а = 2, s= 1. Числовой коэффициент должен быть равен А, следовательно,

, M (X) = a = 2, D (X) = s² = 1. P (3 < X < 3) = F (3)  F (3) =

=

Этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, его численное значение можно найти по таблицам.

В большинстве учебников имеются таблицы для вычисления функций

Ф (х) =

или Ф₁ (х) = = + Ф (х)

Ф (х)  нечетная функция, т.е. Ф (х) =  Ф (х). В общем случае

Р (x₁ < X < x₂) = ,

где а и s - параметры нормального закона. Следовательно, для данного примера

P (|X| < 3) = Ф₁ (1)  Ф₁ (5) = Ф (1)  Ф (5) = Ф (1) + Ф (5) =

= 0,3413 + 0,5 = 0,8413.