Формула Байеса. В этом параграфе {H1, H2, H3, H4}  по-прежнему, полная группа несовместных событий (гипотез)

В этом параграфе {H₁, H₂, H₃, H₄}  по-прежнему, полная группа несовместных событий (гипотез). Если Р (А) > 0, Р (H_k) > 0, то Р (А · H_k) = Р (А) · Р (H_k / А) = Р (H_k) · Р (А / H_k) (см. §§7,8), откуда

это формула Байеса, в которой Р (А) вычисляют по формуле полной вероятности. Р (H_k / А)  вероятность осуществления гипотезы H_k при условии, что событие А осуществилось. Эту вероятность называют послеопытной или апостериорной. Для ее вычисления рассматривают только те испытания, которые закончились “успехом”, т.е. осуществлением события А. Вероятность Р (H_k / А) выражает “долю" гипотезы H_k для вышеуказанных испытаний.

Пример 1. (см. пример 1 из §8).

Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в мишень для них равны p₁ = 0,8 и p₂ = 0,6. Каждый сделал по одному выстрелу, причем в результате в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что промахнулся второй.

Зададим гипотезы: Н₁ = {оба стрелка либо попали, либо промахнулись}, H₂ = {попал только первый}, H₃ = {попал только второй}. Подсчитаем их вероятности: P (H₁) = p₁p₂ + q₁q₂ = 0,56, P (H₂) = p₁q₂ = 0,32, P (H₃) = q₁p₂ = 0,12. Сумма их вероятностей равна 1.

Событие А = {в мишени оказалась ровно 1 пробоина} осуществилось, т.е. данная задача на формулу Байеса. Событие {при одной пробоине промахнулся второй} это гипотеза H₂. По формуле Байеса

т.к. Р (А/Н₁) = 0, Р (А/Н₂) = Р (А/Н₃) = 1. Значение Р (А), вычисленное по формуле полной вероятности, совпадает с результатом, вычисленным ранее в §8 другим способом. Итак, в среднем среди каждых 11 исходов, заканчивающихся одним попаданием, 8 соответствуют варианту H₂ = {первый попал, второй промахнулся}, а остальные три  H₃.

Пример 2. (см. пример 2 из §9)

В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 играных. Для игры наудачу выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще 2 мяча, оказавшиеся новыми. Какова вероятность, что первая игра также проводилась новыми мячами?

Событие А = {для второй игры взяты два новых мяча}, осуществилось. Поэтому задача решается по формуле Байеса. Нас интересует вероятность Р (H_1/А), где, напомним, гипотеза H₁ ={для первой игры взяты 2 новых мяча}. Подставим в формулу Байеса вероятности, подсчитанные в §9.

Постановки задач, подобных изложенным в §9 и в §10, встретятся при решении задачи №1 из контрольной работы.