Случайные величины непрерывного типа

Если возможные значения случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток <a,b>  R ( быть может, и всюось), то табличный способ задания случайной величины непригоден. Такая случайная величина называется случайной величиной непрерывного типа. Ее функция распределения F (x) будет непрерывна. Напомним, что F (¥) = 0, F (+ ¥) = 1, F (x)  монотонная неубывающая функция. Производная такой функции F (x) будет функцией неотрицательной. Она называется плотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения вероятностей. Ее обозначение .

Часто по условию задачи задают именно плотность распределения, зная которую можно вычислить и (интегральную) функцию распределения (по формуле Ньютона - Лейбница):

F (x) = F (x)  F ( ¥) =

Заметим, что f (x)  не обязательно непрерывная функция, она допускает в отдельных точках разрывы 1-го рода.

Итак, f (x)  неотрицательная кусочно-непрерывная функция, причем, согласно одному из свойств F (x),

F (+ ¥) = = 1

Последнее равенство, называемое условием нормировки f (x), показывает, что f (x)  не любая неотрицательная функция: площадь между графиком плотности распределения и осью абсцисс должна быть равна 1. (Для дискретной случайной величины условием нормировки являлось равенство ).

Для непрерывных случайных величин справедливы равенства F (b) 

F (a) = P (a £X < b) = P (a < X < b) = P (a < X £b) =

= P (a £X £b) = .

М (Х) и D (X) определяются формулами

M (X) = , D (X) = .

Вычислительная формула для D (X):

D (X) = M (X²)  (M (X)) ² =  (M (X)) ².