Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y

M

m

0 a x_i b x

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = D x₁, x₂ – x₁ = D x₂, …,x_n – x_n-1 = Dx_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[ x₀, x₁ ] ® m₁, M₁; [ x₁, x₂ ] ® m₂, M₂; … [ x_n-1, x_n ] ® m_n, M_n.

Составим суммы:

_n = m₁D x₁ + m₂D x₂ + … +m_nD x_n =

_n = M₁D x₁ + M₂D x₂ + … + M_nD x_n =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i £ M_i, то _n £ _n, а m(b – a) £ _n £ _n £ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e < x₂, …, x_n-1 < e < x_n.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

S_n = f (e₁)D x₁ + f (e₂)D x₂ + … + f (e_n)D x_n =

Тогда можно записать: m_iDx_i £ f(e_i)Dx_i £ M_iDx_i

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxDx_i – наибольший отрезок разбиения, а minDx_i – наименьший. Если maxDx_i® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение:

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Пример 12.1. Найти площадь полуволны синусоиды.

Геометрический смысл определенного интег-рала – площадь фигуры, образованной линией y = f(x), осью 0 x и вертикальными прямыми x = a
и x = b. Отсюда следует, что общая формула площади любой фигуры, с учетом того, что по физическому смыслу площадь S не может быть
отрицательной, имеет вид:

.

При решении задач на площади рекомендуется предварительно построить
эскиз вычисляемой площади. В данном случае:

Отсюда:

.

.

Следовательно, 2 кв. ед.

Пример 12.2. Вычислить площадь фигуры, образованной осью 0 x и линией на интервале .

Эскиз показывает, что линия пересекает ось 0 x. При
вычислении площади разобьем интеграл на два слагаемых, для того чтобы
не допустить алгебраического сложения величин различных знаков. Найдем
сначала точку пересечения функции с осью 0 x:

 

Значение отбрасываем, так как оно не входит в интервал
).

Таким образом,

кв. ед.

Пример 12.3.Найти площадь фигуры, заключенной между линиями
и

Точки пересечения линий определятся из уравнения ,
т.е. .

Для решения задач со сложным очертанием области удобно использовать графическое разложение на сумму простейших фигур. Так, в нашем
случае:

Следовательно, чтобы получить искомую площадь S, достаточно определить площадь S ₁ для функции и вычесть из нее площадь S ₂
для функции , т.е.

кв.ед.

В перечисленной в конце темы литературе приводятся другие, в том
числе более сложные, примеры вычисления площадей с помощью определенных интегралов.