Метод замены переменной (подстановки)

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример 2.. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример 3.

Замена Получаем:

Приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.