Показательное распределение. В практических приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, в физике, в биологии

В практических приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, в физике, в биологии, вопросах надёжности и других приложениях, часто имеют дело со случайными величинами, имеющими так называемое экспоненциальное, или показательное, распределение.

Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, если её плотность вероятности имеет вид:

Кривая распределения изображена на рисунке.

Найдём функцию распределения:

Таким образом,

График функции распределения изображён на рисунке.

0

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины , имеющей показательное распределение.

Интегрируем по частям, полагая , получим: Следовательно,

Вычислим дисперсию по формуле:

Найдём

Так как функция , при , убывает быстрее, чем растёт любая степень , то первое слагаемое равно нулю. Что касается второго слагаемого, то используя предыдущий результат: , получим

Следовательно,

Таким образом, у показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение одинаковы:

Пример: Случайная величина - время работы радиолампы – имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

По условию задачи математическое ожидание случайной величины равно 400 часам, следовательно, Искомая вероятность:

.

Найдём вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины , распределённой по показательному закону