Геометрическая вероятность. На практике очень часто встречаются такие испытания, число возможных исходов которых бесконечно

На практике очень часто встречаются такие испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. В задачах, сводящихся к случайному бросанию точки на конечный участок прямой, плоскости или пространства, используется другой метод определения вероятности – геометрическая вероятность.

Пусть на плоскости имеется некоторая область , площадь которой , и в ней содержится другая область , площадь которой . В область наудачу бросается точка. Спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадёт в область ? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области и вероятность попасть в какую-либо часть области пропорциональна площади этой части и не зависит от её расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область при бросании наудачу точки в область равна

Для одномерного и трёхмерного случая определение остаётся таким же, только вместо площади в них нужно говорить о длинах и объёмах.

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и её границами, а только её размером, т.е. длиной, площадью или объёмом, то вероятность появления случайной точки внутри некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка.

Пример: (задача о встрече). Два лица договорились о встрече, которая должна произойти в определённом месте в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность встречи, если моменты прихода каждого лица независимы и время ожидания одним другого будет не больше .

Обозначим момент прихода одного лица через , а второго – через . Чтобы встреча состоялась, необходимо и достаточно, чтобы

.

Будем рассматривать и как декартовы координаты на плоскости, всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной , а исходы, благоприятствующие встрече, расположатся в заштрихованной области.

Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата, т.е.

.

Пример: Какова вероятность, что из трёх взятых наудачу отрезков длинной не более можно построить треугольник?

Обозначим через и длины наудачу взятых отрезков. Возможные их значения и . Предположим, что . Тогда для того, чтобы из этих отрезков можно было составить треугольник, необходимо выполнение неравенства . Будем рассматривать и как декартовы координаты точки в пространстве; тогда всевозможные исходы выбора отрезков изобразятся точками куба со стороной . Тройки же чисел , удовлетворяющие условиям и , изобразятся точками заштрихованной пирамиды, объём которой равен .

В таком случае вероятность выполнения условий будет

Но так как число равновозможных упорядоченных расположений и т.д. равно 6, то искомая вероятность