Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то случайную величину Z называют функцией случайных аргументов X и Y:
.
Аналогично определяются функции и от большего числа случайных аргументов.
Наиболее часто в приложениях теории вероятностей встречаются функции нескольких случайных величин вида:
.
Рассмотрим, в частности, вычисление закона распределения вероятностей для суммы
.
Если аргументы и являются дискретными случайными величинами с законами распределения вероятностей
, ,
то закон распределения вероятностей суммы находится по следующему правилу:
а) возможные значения суммы равны всевозможным суммам значений и , то есть ;
б) вероятности возможных значений вычисляются как произведения
,
или , если слагаемые и являются независимыми случайными величинами.
Если и являются независимыми непрерывными случайными величинами то плотность распределения суммы вычисляется по формулам:
.
Числовые характеристики функции случайных аргументов можно, например, вычислить как:
,
где - плотность совместного распределения, а - область определения системы случайных величин .
№ 139. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения вероятностей:
0,4 | 0,6 | 0,7 | 0,3 |
Найти закон распределения случайной величины Z=X+Y.
Решение. Чтобы найти возможные значения случайной величины Z, сложим каждое возможное значение X со всеми возможными значениями случайной величины Y:
.
Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых:
.
Так как , то напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности :
0,28 | 0,54 | 0,18 |
Контроль: 0,28+0,54+0,18=1.
№ 140. Составить закон распределения вероятностей случайной величины , где - индивидуальный иск от i -го застрахованного, если
0,8 | 0,1 | 0,1 |
Здесь - страховой случай не наступил, (у.е.) – смерть от "естественных" причин, (у.е.)- смерть от несчастного случая.
Решение. Найдем последовательно закон распределения вероятностей суммарного ущерба . Определим сначала закон распределения вероятностей для суммы , для чего составим так называемую матрицу вероятностей:
0,8 | 0,1 | 0,1 | |
0,8 | 0,64 | 0,08 | 0,08 |
0,1 | 0,08 | 0,01 | 0,01 |
0,1 | 0,08 | 0,01 | 0,01 |
Суммируя вероятности по линиям , получаем закон распределения вероятностей суммы :
0,64 | 0,16 | 0,17 | 0,02 | 0,01 |
Теперь найдем распределение вероятностей для суммы , для чего составим соответствующую матрицу вероятностей:
0,64 | 0,16 | 0,17 | 0,02 | 0,01 | |
0,8 | 0,512 | 0,128 | 0,136 | 0,016 | 0,008 |
0,1 | 0,064 | 0,016 | 0,017 | 0,002 | 0,001 |
0,1 | 0,064 | 0,016 | 0,017 | 0,002 | 0,001 |
Суммируя по линиям , получаем искомый закон для суммы :
0,512 | 0,192 | 0,216 | 0,049 | 0,027 | 0,003 | 0,0001 |
Аналогично для суммы можем получить:
0,4096 | 0,2048 | 0,2432 | 0,08 | 0,0481 | 0,01 | 0,0038 | 0,0004 | 0,0001 |
Последняя таблица позволяет построить функцию распределения вероятностей :
0,4098 | 0,6144 | 0,8576 | 0,9376 | 0,9857 | 0,9957 | 0,9995 | 0,9999 |
Функция распределения вероятностей позволяет оценить величину капитала страховой компании, обеспечивающей ей определенную вероятность неразорения. Например, капитал, равный 2 у.е., обеспечивает компании вероятность неразорения в 85,76%. Такие данные позволяют компании устанавливать для клиентов более “справедливые” страховые взносы (премии).
№ 141 – 142. Дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределения вероятностей:
№ 141 | X | Y | ||||||
p | 0,4 | 0,1 | 0,5 | g | 0,2 | 0,8 |
№ 142 | X | Y | ||||||
p | 0,7 | 0,3 | g | 0,8 | 0,2 |
Найти законы распределения вероятностей случайных величин: а) ; б) ; в) .
№ 143. На заводе три одинаковых и независимо работающих цеха, в начале месяца по каждому цеху был составлен вероятностный прогноз выполнения плана (в %):
0,1 | 0,7 | 0,2 | 0,1 | 0,8 | 0,1 | 0,2 | 0,7 | 0,1 |
Найти вероятность выполнения плана заводом.
№ 144. Согласно договору краткосрочного страхования жизни, страховая компания выплачивает застрахованному 10000 руб. в случае его смерти в течение года от несчастных случаев; 20000 руб. в случае его смерти от естественных причин; и не платит ничего, если застрахованный проживет более одного года. Компания застраховала на таких условиях трех человек. Составить закон распределения вероятностей суммарного ущерба компании и оценить величину страхового взноса, гарантирующую вероятность не разорения компании в а) 80 %, б) 95 %, в) 98 %. При этом будем иметь в виду, что вероятность смерти от несчастного случая равна 0,04, а от естественных случаев 0,01. Для расчета суммарного ущерба применить матрицу вероятностей и производящие функции.
№ 145. Страховая компания заключила 6 договоров краткосрочного страхования жизни с людьми, достигшими одного и того же возраста на следующих условиях: компания выплачивает застрахованному лицу 10000 руб. в случае его смерти в течение 1 года, и не платит ничего, если застрахованный поживет более 1 года. Составить закон распределения вероятностей суммарного ущерба компании и оценить величину страхового взноса, гарантирующую вероятность не разорения компании в а) 80 %, б) 90 %, в) 95 %.; если вероятность смерти застрахованного в течение текущего года равна 0,1. При этом считается, что индивидуальные убытки является независимыми. Для расчета суммарного ущерба применить формулу Бернулли
№ 146. Найти закон распределения вероятностей суммы двух нормальных независимых случайных величин с параметрами , .
№ 147. Две ремонтные бригады обслуживают водопроводную систему города. Время ожидания очередной заявки на ремонт имеет показательное распределение с параметром . Первую поступившую заявку обслуживает первая бригада, следующую – вторая. Найти закон распределения времени ожидания своей заявки второй бригадой.
№ 148. Точка бросается наудачу в круг радиуса . найти среднее расстояние точки от центра круга.
Г Л А В А V
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
Под термином “закон больших чисел”, понимается ряд математических теорем (например, теоремы Чебышева и Бернулли), в которых указываются условия, при выполнении которых совокупное (среднее) воздействие большого числа случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая.
Основным приложением закона больших чисел является то, что он научно обосновывает так называемый выборочный метод, который является основой статистики (математической, экономической и т.д.).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 479 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!