Показательное распределение

Закон распределения вероятности с плотностью

где параметр , называется показательным. Этот закон выводится из задачи о распределении промежутка времени между двумя последовательными событиями простейшего потока.

Показательным законом распределения часто описывается длительность безотказной работы некоторого элемента или систем элементов. Тогда функция надежности, определяющая вероятность безотказной работы элемента за время продолжительностью единиц, равна:

,

где l - интенсивность отказов (среднее число отказов за единицу времени).

№ 111. Испытывают два независимо работающих элемента, длительность безотказной работы которых имеет показательное распределение с интенсивностью отказов =0,02 и =0,05 для первого и второго элементов соответственно. Найти вероятность того, что за время длительностью 6 часов: а) откажут оба элемента; б) оба элемента не откажут; в) откажет только один элемент; г) откажет хотя бы один элемент.

Решение. Вычислим вероятности безотказной работы элементов. Для первого элемента получаем

Для второго элемента

а) Вероятность отказа обоих элементов:

.

б) Вероятность безотказной работы обоих элементов:

.

в) Вероятность безотказной работы только одного элемента:

.

г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет:

.

Ответ: а) 0,029; б) 0,657; в) 0,313; г) 0,343.

№ 112. Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента , для второго - , для третьего - ( измеряется в часах). Найти вероятность того, что в интервале времени откажут: а) только один элемент; б) все три элемента; в) хотя бы один элемент.

№ 113. Клиент беспокоит своего брокера приказами о продаже или покупке ценных бумаг. Поток таких приказов будем считать простейшим, в среднем поступает один приказ в неделю. Последний приказ поступил два дня назад. Найти вероятность того, что следующий приказ поступит: а) в текущие сутки, б) через день, в) через два дня.

№ 114. Утренняя планерка в управлении продолжается в среднем около часа. На этот раз она за час не закончилась. Найти вероятность того, что она продлится еще не менее: а) 10 минут, б) 20 минут, в) 30 минут.