Моменты распределения случайных величин

Начальным моментом порядка k называют математическое ожидание случайной величины :

,

в частности, математическое ожидание равно начальному моменту первого порядка: .

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание k -ой степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

.

В частности, дисперсия равна центральному моменту второго порядка: , а =0.

Из определения центрального момента легко получить соотношения, связывающие между собой центральные и начальные теоретические моменты:

,

,

,

и так далее.

Центральные моменты применяются, например, для вычисления коэффициентов асимметрии и эксцесса , которые для нормального распределения равны нулю и поэтому служат для оценки различия между нормальным распределением и некоторым другим теоретическим распределением.

№ 125. Вычислите начальные и центральные теоретические моменты до четвертого порядка включительно для дискретной случайной величины:

	0,6	0,4

Найдите коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Решение. Вычислим начальные моменты:

,

,

,

.

Для вычисления центральных моментов воспользуемся расчетными формулами:

,

,

.

Найдем коэффициента асимметрии и эксцесса:

, .

Для систем двух случайных величин вида определяют следующие моменты:

а) начальным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения :

.

б) центральным моментом порядка системы называется математическое ожидание

,

Центральный момент получил название корреляционного момента , или его называют также и ковариацией :

.

А коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

.

Эти величины служат для характеристики связи между случайными величинами, а именно: а) если X и Y независимы, то , б) если , то X и Y - зависимые случайные величины. Или случайные величины и называются коррелированными, если , и некоррелированными в противном случае.

Отметим, что коэффициент корреляции является безразмерной величиной, причем

.

Для системы, состоящей из n случайных величин , или случайного вектора можно определить симметричные ковариационную и корреляционную матрицы размерности :

,, .

Здесь

, , , .

№ 126. Вычислите коэффициент корреляции между случайными величинами и по данным № 61.

Решение. Для вычисления коэффициента корреляции по формуле

,

найдем соответствующие числовые характеристики:

,

,

,

.

А для вычисления составим закон распределения, для чего перемножим соответствующие возможные значения сомножителей:

	0,1	0,3	0,2	0,1	0,25	0,05

Тогда

.

Следовательно,

,

что, в частности, говорит () о зависимости случайных величин и .

Ответ: .

Значение коэффициента корреляции характеризует степень линейной функциональной зависимости между составляющими и системы случайных величин . Эта зависимость называется линейной среднеквадратической регрессией на , и имеет вид:

,

где коэффициент

называют коэффициентом регрессии на .

Аналогично выглядит уравнение среднеквадратической регрессии на :

.

Если , то речь идет о точной линейной зависимости между случайными величинами и . Если же , то говорят о приближенной зависимости, причем степень приближенности оценивается в математической статистике.

№ 127. Построить уравнение среднеквадратической регрессии на по данным № 61.

Решение. Так как

,

то

,

или

.

Ответ: .

В приложениях часто рассматриваются случайные вектора вида , где - одномерные случайные величины, - некоторые постоянные коэффициенты. Тогда их числовые характеристики вычисляются как:

, .

Или в матричной форме:

, ,

где - вектор математических ожиданий составляющих.

№ 128. Ожидаемая доходность ценной бумаги равна 9%, со средним квадратическим отклонением, равным 6%. Для ценной бумаги доходность прогнозируется на уровне 11% со средним квадратическим отклонением, равным 8%. Найти ожидаемую доходность и среднее квадратическое отклонение портфеля, состоящего на 30% из ценных бумаг вида и на 70% из ценных бумаг вида , если корреляция между этими бумагами равна .

Решение. Вычислим: а) математическое ожидание (ожидаемую доходность) портфеля

%;

б) среднее квадратическое отклонение (риск) портфеля по формуле , а именно, используем частный случай:

%.

№ 129. Вычислите начальные и центральные теоретические моменты до четвертого порядка включительно для дискретной случайной величины:

	-1
	0,7	0,3

Найдите коэффициенты асимметрии и эксцесса.

№ 130. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам: по величине и по длительности. Получилась следующая таблица:

	Краткосрочные	Долгосрочные
Мелкие	0,1	0,05
Средние	0,3	0,1
Крупные	0,4	0,05

Определите, независимы ли эти параметры? Если да, то постройте уравнения среднеквадратической регрессии.

№ 131. Решите № 128, если коэффициент корреляции между ценными бумагами равен: а) 1; б) 0,3; в) 0; г) -0,5; д) -1. Проанализируйте влияние коэффициента корреляции на результат.

Г Л А В А IV

Ф У Н К Ц И И С Л У Ч А Й Н Ы Х А Р Г У М Е Н ТО В