Теорема Бернулли. Понятие о пределе по вероятности

Частным случаем неравенства Чебышева является неравенство Бернулли:

,

где - относительная частота появления события A в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли с вероятностью появления события A в одном испытании.

Из этого неравенства следует теорема Бернулли вида:

,

или в виде так называемого предела по вероятности:

.

№ 156. Из 1000 изделий, поступивших на склад, были подвергнуты исследованию 200, отобранных случайным образом. Среди них оказалось 25 бракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется от 10% до 15%.

Решение. Определим вероятность изготовления бракованного изделия

.

Так как

,

или

,

то, согласно неравенству Бернулли, получаем:

Ответ. .

№ 157. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью не меньшей 0,98 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты годных деталей от вероятности деталей быть годной (равной 0,95) не превысит: а) 0,01; б) 0,03; в) 0,05? Проанализируйте полученные результаты.