Теоремы умножения вероятностей

а) Независимые и зависимые событий

Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них (причем любого) не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. В противном случае события называются зависимыми.

Например, фары трактора или автомобиля подсоединены параллельно. Отказ в работе левой фары событие А, отказ в работе правой фары событие В. События А и В независимые.

б) События, независимые в совокупности. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация из остальных событий (содержащая либо все события, либо часть из них) есть события независимые.

Например, на каждом из трех стеллажей склада находится по 25 поршней первого и второго допуска. Из каждого стеллажа берут по одному поршню. Обозначим событие А — взятый с первого стеллажа поршень имеет первый допуск, В — взятый со второго стеллажа поршень имеет второй допуск, С — взятый с третьего стеллажа поршень имеет первый допуск. События А, В, С — независимые в совокупности.

в) Условная вероятность. Условной вероятностью или называется вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения (совместного наступления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Следствие. Вероятность произведения (совместного наступления) нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , , … независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , … , т.е. .

Теорема. Вероятность произведения (совместного наступления) двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

или .