Практичне заняття 6. Числові характеристики випадковоївеличини

Числові характеристики випадковоївеличини

Будь-яка форма закону розподілу випадкової величини повністю визначає випадкову величину з ймовірнісної точки зору. Існують більш прості, хоча і менш вичерпні, характеристики випадкової величини, що певною мірою характеризують її істотні риси, наприклад, середнє значення або ступінь розкиду значень щодо середнього. Такі характеристики називаються числовими характеристиками випадкової величини.

У теорії ймовірностей основними числовими характеристиками випадкової величини є її математичне сподівання і дисперсія.

Математичним сподіванням випадкової величини називається число, яке позначається або М(Х) та обчислюється за формулами:

- для дискретної випадкової величини )

,де

- для неперервної випадкової величини Х зіщільністьюрозподілу

Математичне сподівання визначає значення випадкової величини, навколо якого групуються всі її можливі значення і має певний зв'язок із середнім арифметичним спостережуваних значень при великому числі випробувань. Цей зв'язок того ж роду, що й зв'язок між відносною частотою і ймовірністю, а саме: при великому числі випробувань середнє арифметичне спостережуваних значень випадкової величини наближається (збігаються за ймовірністю) до її математичного сподівання.

Дисперсією випадкової величини називається число, яке позначається та обчислюється за формулами:

- для дискретної випадкової величини

=

- для неперервної випадкової величини

=

Обчислювати дисперсію можна за формулою

,

де - математичне сподівання квадрата випадкової величини.

Для дискретної випадкової величини

для неперервної випадкової величини

Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини.

Дисперсія дозволяє оцінити розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення. Дисперсія випадкової величини є невипадкова (стала) величина.

Дисперсія числа виникнення події А у n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність р виникнення події стала, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності виникнення та невиникненняподії в одному випробуванні:

не .

Властивості математичного сподівання та дисперсії

1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює самій ційвеличині:

М (С) = С.

2. Сталу величину можна виносити за знак математичного сподівання:

М (СХ) = СМ (Х).

3. Математичне сподівання від суми або різниці випадкових величин дорівнює сумі або різниці їх математичних сподівань:

М (Х + Y) = М (Х) + М (Y),

М (Х-Y) = М (Х)-М (Y).

4. Математичне сподівання добутку взаємно залежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань із множників:

М (ХY) = М (Х) М (Y).

5. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю:

D (C) = 0.

6. Сталу величину можна виносити за знак дисперсії, піднісшиїї до квадрата:

7. Дисперсія від суми або різниці випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

У теорії ймовірностей використовують характеристику розкиду значень випадкової величини щодо її середнього значення , яка називається середнім квадратичним відхиленням і має розмірність випадкової величини.

Дисперсія має розмірність, яка дорівнює квадрату розмірності випадкової величини, а математичне очікування і середнє квадратичне відхилення - такусаму розмірність, що й випадкова величина.

Модою дискретної випадкової величини Х називають її найбільш ймовірне значення.

Модою неперервної випадкової величини Х називають те її ймовірне значення, якому відповідає локальний максимум щільності розподілу.

Медіаною випадкової величини Х називають те її ймовірне значення, яке визначається рівністю

Медіана, як правило, не визначається для дискретної випадкової величини. Геометрично медіану для безперервно розподіленої випадкової величини можна визначити як точку, в якій ордината f (x) ділить площину, обмежену кривою розподілу,навпіл.