Непрерывность в точке

Определение 1. Пусть функция y = f (x) определена в точке х ₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Определение 2. функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х ₀ и ее окрестности и выполняется равенство , где , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Задача 1. Исследовать на непрерывность функцию y =sin x.

Решение. Функция y =sin x определена при любом х. Возьмем произвольную точку х и найдем приращение D у:

.

Тогда , т.к. произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции (б.м.ф.) есть б.м.ф.

2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

Определение 3. Функция y = f (x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 4. Функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в интервале (a, b) и в каждой точке х = a непрерывна справа (т.е. ), а в точке х = b непрерывна слева (т.е. ).

3. Точки разрыва функции и их классификация.

Определение 5. Точки в которых нарушается непрерывность функции называются точками разрыва этой функции.

х = х ₀ – точка разрыва если не выполняется по крайней мере одно из условий определения 1, а именно:

1. функция определена в окрестности точки х ₀, но не определена в самой точке. (например, ).

2. функция определена в точке х ₀ и ее окрестности, но не существует предела f (x) при х ® х ₀.

Задача 2. Задана функция у = f (x). Найти точки разрыва, если они существуют. .

Решение. Функция определена в точке х =2 (f (2)=0), однако в точке х =2 имеет разрыв, так как односторонние пределы при х ®2 слева и справа не равны между собой:

, .

3. функция определена в точке х ₀ и ее окрестности, существует но этот предел не равен значению функции в точке х ₀: .

Задача 3. Задана функция у = f (x). Найти точки разрыва, если они существуют. .

Решение: Здесь х ₀=0 – точка разрыва: предел функции неравен значению функции в этой точке однако .

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение 6. Точка х ₀ называется точкой разрыва первого рода функции y = f (x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. . При этом:

а) если А ₁= А ₂, то точка х ₀ называется точкой устранимого разрыва;

б) если А ₁¹ А ₂, то точка х ₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину ½ А ₁– А ₂½ называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Задача 4. Задана функция у = f (x) и два значения аргумента x ₁ и x ₂. Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа;

3) сделать схематический чертеж.

4.1. f (x)=5^{2/(2– x )} x ₁=0 x ₂=2 4.2. x ₁=0 x ₂=1

4.3. f (x)=11^{1/ x} x ₁=0 x ₂=4 4.4. f (x)=3^{1/(7– x)} x ₁=1 x ₂=7

4.5. f (x)=4^{2/(1+ x)} x ₁=0 x ₂= –1 4.6. x ₁=1 x ₂=2

4.7. x ₁=0 x ₂= –4 4.8. x ₁=1 x ₂=5

4.9. x ₁=1 x ₂= –2 4.10. x ₁=3 x ₂=2

Задача 5. Задана функция у = f (x). Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.

5.1. f = . 5.2. .

5.3. f . 5.4. f .

5.5. f . 5.6. f(x) = .

5.7. f (x) = . 5.8. f (x) = .

5.9. . 5.10. f .