Уравнение Лагранжа

Уравнение вида

, (4.25)

где , - известные функции от , - называется уравнением Лагранжа.

Введем вспомогательный параметр, положив . Тогда уравнение (4.25) примет вид

. (4.26)

Дифференцируя по х, получим:

, т.е.

или . (4.27)

Уравнение (4.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции х = х(р). Решив его, найдем:

. (4.28)

Исключая параметр р из уравнений (4.26) и (4.28), получаем общий интеграл уравнения (4.25) в виде .

Отметим, что, переходя к уравнению (4.27), мы делили на . При этом могли быть потеряны решения, для которых , т.е. .

Это значение является корнем уравнения (см. (4.27)).

Решение является особым для уравнения (4.25) (см. понятие особого решения в п. 4.3).