Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Уравнение (4.11) интегрируется следующим образом.

Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е. уравнение

. Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:

и .

Таким образом, , т.е.

или , где .

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. полагаем с = с (х). Решение уравнения (4.11) ищем в виде

. (4.14)

Находим производную (для удобства записи пользуемся обозначением ):

.

Подставляем значения у и в уравнение (4.11):

.

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет вид

.

Следовательно,

.

Интегрируя, находим:

.

Подставляя выражение с(х) в равенство (4.14), получим общее решение ДУ (4.11):

.

Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ср. с (4.13)).

Пример 4.9. Решить пример 4.8 методом Лагранжа.

Решение: Решаем уравнение у' + 2ху = 0. Имеем , или .

Заменяем с на с(х), т. е. решение ДУ у' + 2ху=2х ищем в виде . Имеем

.

Тогда

, т.е. ,

или , или . Поэтому ,

или - общее решение данного уравнения.

Замечание. Уравнение вида (x ∙ P (y) + Q (y))∙ y′ = R (y), где Р (у), Q (y), R (y) - заданные функции, можно свести к линейному, если х считать функцией, a y - аргументом: х = х (у). Тогда, пользуясь равенством , получаем

, т.е. - линейное относительно х уравнение.

Его решение ищем в виде х = и·v, где u = u (y), v = v (y) - две неизвестные функции.

Пример 4.10. Найти общее решение уравнения (х + у)· у' = 1.

Решение: Учитывая, что , от исходного уравнения переходим к линейному уравнению

.

Применим подстановку . Тогда . Получаем: , или .

Находим функцию v: , , .

Находим функцию и: , т. е. , или .

Интегрируя по частям, находим: . Значит, общее решение данного уравнения:

, или .