 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Уравнения с разделяющимися переменными. Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида
|
|
Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида
. (4.5)
Внем одно слагаемое зависит только от x, а другое - от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:
- его общий интеграл.
Пример 4.2. Найти общий интеграл уравнения х × dx + у × dy = 0.
Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными.
Поэтому 
или 
Обозначим 
.
Тогда 
- общий интеграл ДУ.
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:
(4.6)
Особенность уравнения (4.6) в том, что коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от х, другая - только от у.
Уравнение (4.6) легко сводится к уравнению (4.5) путем почленного деления его на 
. Получаем:
, 
- общий интеграл.
Замечания.
1. При проведении почленного деления ДУ на 
могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение 
и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, - особые решения.
2. Уравнение 
также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить 
и разделить переменные.
3. Уравнение 
, где a, b, c - числа, путем замены
ах + by + с = и сводится к ДУ с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем:
, т.е. 
, откуда следует 
.
Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах + by + с, получим общий интеграл исходного уравнения.
Пример 4.3. Решить уравнение (у + ху) dx + (х — ху) dy = 0.
Решение: Преобразуем левую часть уравнения:
.
Оно имеет вид (4.6). Делим обе части уравнения на 
:
.
Решением его является общий интеграл
, т.е. 
.
Здесь уравнение имеет вид 
. Его решения х = 0, у = 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл.
Значит, решения х = 0, у = 0 являются особыми.
Пример 4.4. Решить уравнение 
, удовлетворяющее условию 
.
Решение:
Имеем: 
или 
. Проинтегрировав, получим:
,
т. е. 
общее решение ДУ.
Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим х = 4 и y = 1 в общее решение уравнения: 
, - с = 4.
Получаем: 
- частное решение уравнения .
Пример 4.5. Найти общее решение ДУ 
, - замедленное движение точки.
Решение: Приведем данное уравнение к виду (4.5):
, 
, 
.
Интегрируем: 
, т.е. 
.
Отсюда 
- общее решение уравнения.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 299 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
