Функции двух переменных. Локальный (безусловный) экстремум

Напоминаем, что переменная z называется функцией двух переменных x и у, если каждой паре их значений (х, у) из множества D ставится в соответствие определенное значение z=f(x,y). Множество D называется областью определения функции, а множество всех возможных значений переменной z – областью значений функции.

Геометрически областью определения функции двух переменных является плоскость или часть ее. Например, областью определения функции z = x² +y² является плоскость х 0 у, а для функции z = ln xy область определения первый и третий квадранты плоскости х0у, исключая оси координат, т.е там где ху >0.

Графиком функции двух переменных является поверхность в трехмерном пространстве. Например, графиком функции z=5x+4y-1 является плоскость (5х+4у-z-1=0), а графиком функции - полусфера () радиуса R =5.

Из аналитического задания функции ясно, что данная функция имеет максимум в точке 0(0,0). В общем случае вопрос о существовании и нахождении локального экстремума функции многих переменных, так же как и в случае функции одной переменной, решается методами дифференциального исчисления.

Напомним понятие частных производных функции двух переменных. Пусть дана функция f(x,y). Полным приращением функции f(x,y) в точке М(х,у) называется разность

где - приращения аргументов, вызвавшие данное приращение функции. Если одна из переменных не получает приращения, то соответствующая разность определяет частное приращение по другой переменной

, .

Предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента при стремлении последнего к нулю называется частной производной по данной переменной

.

Полный дифференциал функции двух переменных равен сумме частных дифференциалов

Практически при вычислении частных производных руководствуются теми же правилами, что и в случае функции одной переменной, причем, если производная вычисляется по переменной х, то переменная у считается постоянной величиной и наоборот.

Пример 31. найти частные производные и вычислить полный дифференциал функции в точке М (1;4) при dx =0,01; dy =0,02.

Имеем ,

так что

и

Для функции многих переменных, как и в случае одной переменной, вводятся производные старших порядков. Так, для функции двух переменных существуют четыре производные второго порядка:

.

Производные и называются смешанными. В нашем курсе будут встречаться только функции, для которых = , хотя для некоторых функций это равенство не справедливо.

Пример 32. Найти все частные производные второго порядка для функции

.

Частные производные первого порядка равны:

, .

Дифференцируя их, получим

, , , .

Напомним определения локального экстремума непрерывной функции двух переменных и методику его нахождения. Точка называется точкой локального максимума (минимума) непрерывной функции f (x,y), если существует такая окрестность точки , принадлежащая ООФ, что для всех точек М(х,у) из этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство

, .

Согласно необходимому условию, координаты точки, подозрительной на экстремум (стационарной точки), являются решением системы уравнений

Чтобы выяснить, имеется ли в стационарной точке экстремум и какого типа, необходимо применить достаточное условие экстремума. Составим матрицу из производных второго порядка

.

Вычислим два ее угловых минора в стационарной точке .

Тогда, если D₂ <0, то в точке экстремума нет, если D₂ >0, то в точке экстремум имеется, причем, если D₁ <0, то максимум, если D₁ >0, то минимум.

Пример 33. Найти экстремум функции z=2x³-xy²+5x²+y²

(I) Используя необходимые условия экстремума, составим систему уравнений и решим ее.

.

Следовательно, возможны два случая:

а) у = 0. Тогда из первого уравнения системы имеем

6 х²+ 10 х= 0, 2 х (3 х+ 5) = 0, х= 0, х=- 5/3,

что дает координаты двух стационарных точек М₁(0,0); М₂(-5/3,0).

б) х = 1. В этом случае из первого уравнения системы получим

16 - у² =0, у = ±4.

В результате имеем координаты еще двух точек, подозрительных на экстремум: М₃ (1,4); М₂ (1,-4).

(II) Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Построим матрицу

Вычислим значения ее угловых миноров в точке М₁

,
Следовательно, точка М₁ (0,0) является точкой минимума .

Легко проверить, что в остальных стационарных точках экстремума нет. Например, в точке М₂ имеем:

.

Поскольку D₂ <0, то экстремумов нет.