Производственная функция

Пример 34. В математических моделях экономики часто рассматривается, так называемая, производственная функция, которая отражает зависимость объема продукта от факторов производства. Под объемом продукта, в зависимости от модели, понимается национальный доход, конечный продукт или внутренний валовый продукт. К факторам производства относится капитал, рабочая сила и земля.

Допустим, что количество используемой земли фиксировано, тогда объем продукта зависит от двух факторов, т.е. производственная функция является функцией двух переменных. Обозначим z - объем продукта, х - капитал, у -рабочая сила, f (x,y) –производственная функция, тогда z=f (x,y).

Чтобы выяснить влияние на выпуск продукта какого-либо фактора полагают, что другой - фиксирован. Тогда производственная функция станет функцией одной переменной. Если фиксирован капитал, то z=f(x₀,y) – функция рабочей силы, если фиксирована рабочая сила, то z =f(x,y₀) – функция капитала.

Свойства производственной функции вытекают из требований:

1. Увеличение затрат любого фактора приводит к увеличению выпуска продукции.

2. Выполняется закон убывающей доходности, согласно которому - каждая следующая единица добавленного ресурса дает прирост прибыли не больший, чем предыдущая, иначе – увеличение только одного фактора приводит к снижению эффективности его использования.

Можно показать, что указанные выше требования выполнены, если функция z=f(x,y) обладает свойствами:

1. 2.

Отметим, что при таких условиях функция z=f (x₀,y) (и z=f (x,y₀)) возрастает и выпукла вверх.

В качестве примера рассмотрим функцию ; (x > 0, y > 0), и покажем, что она обладает указанными выше свойствами производственной функции . Для этого надо вычислить частные производные и проверить их знаки. Имеем:

Поскольку х и у – положительные величины, то частные производные первого порядка положительны, а производные второго порядка – отрицательны. Таким образом, функцию при условиях x >0, y >0 можно рассматривать как производственную.