Определенный интеграл. В основе теории определенного интеграла лежит понятие интегральной суммы для заданной функции f(x) на рассматриваемом промежутке [a,b]

В основе теории определенного интеграла лежит понятие интегральной суммы для заданной функции f(x) на рассматриваемом промежутке [ a,b ]. Эта сумма составляется следующим образом. Промежуток [ a, b ] разбивается от точки a до точки b произвольно на n частей точками х₁, х₂, ….х_n-1 так, что

a₁=x₀<x₁<x₂,…<x_n-1<x_n=b.

В каждом частичном промежутке [ x_k;x_k+1 ] длиной (k=0,1,2,…n-1) произвольным способом выбирается точка и составляется сумма произведений значений функции f(x) в точках на длины соответствующих промежутков

Эта сумма может быть записана в более компактном виде

.

Пусть последовательность интегральных сумм имеет конечный предел при стремлении длин всех частичных промежутков к нулю (при этом n стремится к бесконечности), и этот предел не зависит ни от способа разбиения исходного промежутка, ни от выбора точек , принадлежащих частичным промежуткам, то такой предел называется определенным интегралом от функции f(x) на промежутке [ a,b ] и обозначается . В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [ a,b ].

Поскольку стремление длин всех частичных промежутков к нулю эквивалентно стремлению к нулю длины наибольшего из этих промежутков, то по определению

Как и в случае неопределенного интеграла:

· f(x) – подынтегральная функция,

· f(x)dx – подынтегральное выражение,

· х – переменная интегрирования.

Промежуток [ a, b ] называется промежутком интегрирования, a и b - соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл имеет простой геометрический смысл. Если функция f(x) непрерывна и неотрицательна на промежутке [ a, b ], то определенный интеграл от нее на [ a, b ] численно равен площади криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x), осью 0х и прямыми х = а и х = b.

Рис.9