Правила дифференцирования

1)
2)
3)
4)
5)

Последнее правило называется правилом дифференцирования сложной функции. Сложной является, например, функция y=sin5x. Аргументом синуса является не независимая переменная х, а линейная функция от х т.е. 5х. Аналогично, сложная функция связывает зависимую переменную у с независимой переменой х через линейную функцию, тригонометрическую функцию синус и степенную функцию: , где y= sin g, a g=5x.

Приведем определение сложной функции. Пусть функция y= f(x) определена в области Z, а функция z=g(x) определена в области Х, причем все значения g(x) принадлежат Z. Тогда переменную у можно рассматривать как сложную функцию от х: y=f(g(x)).

Пример 3. Найти производную и дифференциал функции

.

Применяя правила дифференцирования (1-2) и п.1 таблицы, имеем

.

Согласно п.2 и п.9 таблицы, получим:

; ; .

Окончательно:

. (6)

Промежуточные вычисления можно не выписывать, а сразу записывать результат в виде (6). Учитывая формулу (5) для дифференциала, получим

Пример 4. Поясним правило вычисления производной сложной функции на простейшем примере . Обозначим .Тогда по правилу (5) имеем

(7)

Так как

, (8)

то, подставляя (8) в (7), получаем

.

Пример 5. Найдем производную функции . Как и в предыдущем примере, введем вспомогательные функции

g(x)=5∙x, u(g)= sin g, f(u)=u⁷.

По правилу (5) получаем:

(9)

Согласно п.2 таблицы и правилу 1 имеем:

(10)

Подставляя (10) в (9), получим:

(11)

Отметим, что этот результат можно получить сразу, не выписывая промежуточные функции g(x) и u(g). С этой целью поступают следующим образом.

I. Определяется последовательность действий, которые необходимо осуществить при вычислении данной функции:

· умножение аргумента х на число 5: 5∙ х;

· Вычисление значение синуса: sin5 x;

· возведение в степень с показателем 7: (sin5 x)⁷

II. Порядок вычисления производной обратный, т.е. начинаем вычисление с дифференцирования последней операции:

1. производная от степенной функции, основание которой sin5 x (п.2 таблицы): 7∙(sin5 x)⁶;

2. производная от синуса, аргумент которого 5 х (п.7 таблицы): cos5 x;

3. производная от произведения постоянной на степенную функцию (правило 1; п.2 таблицы): 5.

Производная равна произведению результатов указанных действий:

.

Пример 6. Аналогично найдем производную функции

Пример 7. Найти производную функции

.

Имеем

Поскольку основная задача этого раздела – освоить технику дифференцирования, студенты в контрольной работе могут оставлять результат в неупрощенном виде, как это делалось в приведенных примерах.