Решение. Согласно предположению, каждый житель ответит «да» с вероятностью р=1/2, п=900, пр=450 – это математическое ожидание m в схеме независимых испытаний

Согласно предположению, каждый житель ответит «да» с вероятностью р=1/2, п=900, пр=450 – это математическое ожидание m в схеме независимых испытаний, = , 3 . Пусть Х – число поддерживающих мероприятие жителей. При большом числе испытаний биномиальный закон сколь угодно близок к нормальному закону и можно воспользоваться «правилом трех сигм»:

(m-3 =(450-45;450+45)=(405;495) – это интервал практически возможных значений случайной величины Х, а 499 в него не входит, т.е. наше предположение не согласуется с опытными данными.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение повторных и бесповторных выборок. Рассмотрите различные виды выборок.

2. Дайте классическое определение вероятности. Докажите свойства вероятностей.

3. Дайте определение суммы событий. Докажите теорему сложения.

4. Дайте определение произведения событий. Докажите теоремы умножения.

5. Докажите формулу Бернулли. Укажите, когда применяются формулы Лапласа и Пуассона.

6. Что называют простейшим потоком? Перечислите свойства простейшего потока.

7. Докажите формулу полной вероятности и формулу Байеса.

8. Дайте определение закона распределения для дискретной случайной величины. Приведите примеры законов.

9. Дайте определение математического ожидания и перечислите его свойства.

10. Дайте определение дисперсии и перечислите ее свойства.

11. Дайте определение среднего квадратического отклонения и укажите его преимущества по сравнению с дисперсией.

12. Дайте определение функции распределения (интегральная функция) и докажите ее свойства.

13. Дайте определение плотности распределения (дифференциальная функция) и докажите ее свойства.

14. Напишите плотности (дифференциальные функции) нормального и показательного распределений. Какими параметрами определяются эти распределения?

15. Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, если она распределена: а) нормально, б) по показательному закону.

16. Дайте определение интегральной и дифференциальной функций двумерной непрерывной случайной величины.

17. Как, зная законы распределения двух дискретных случайных величин, получить законы для суммы, произведения, найти соответствующие математические ожидания и дисперсии?

18. Дайте определение ковариации и коэффициента корреляции величин. Перечислите свойства коэффициента.

19. Сформулируйте центральную предельную теорему Ляпунова. Укажите примеры ее применения.

20. В чем состоит сущность закона больших чисел. Напишите неравенство Чебышева и поясните его смысл.

21. Дайте определение сходимости по вероятности. Сформулируйте теорему Чебышева и укажите, как с ее помощью найти математическое ожидание опытным путем.

22. Сформулируйте принцип практической уверенности и правило «трех сигм».

Заключение

Теория вероятностей является одной из самых быстро развивающихся математических наук. Новые теоретические результаты открывают новые возможности практического использования методов теории вероятностей, а более детальное изучение явлений природы, технических, экономических и иных процессов стимулирует ученых-вероятностников на разыскание новых методов, новых закономерностей, порождаемых случайными явлениями. Теория вероятностей является одной из тех математических наук, которые не отгораживаются от жизни и от запросов других наук, а идут в ногу с развитием естествознания, техники, экономики.

Данное пособие содержит лишь основы курса теории вероятностей. За его рамками остается довольно большой и интересный материал.

В пособии обзорно рассмотрена теория для функции от случайной величины и зависимые случайные величины. Более подробно изучается случай двух дискретных случайных величин, зависимых и независимых. Не включено в пособие изучение и таких широко распространенных в природе зависимостей между случайными величинами, как статистическая и корреляционная. Не вошли в пособие теория случайных процессов, моделирование случайных процессов методом Монте-Карло, теория массового обслуживания, цепи Маркова.

Для изучения этих разделов, а также для более глубокого освоения изложенного материала имеется обширная литература. В конце пособия приложен список рекомендуемой литературы.

Авторы надеются, что полученная информация при изучении теории вероятностей по данному пособию поможет формированию инженерного мышления будущего специалиста, расширит его кругозор, окажет помощь в дальнейшей деятельности по распознаванию в реальных задачах их вероятностные черты и выработке рекомендаций для получения желаемого результата с минимальными затратами сил и средств.

Рекомендуемый
Библиографический список

1. Вентцель, В. С. Теория вероятностей [текст] / В. С. Вентцель – М.: Высшая школа, 2003.

2. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и её инженерные приложения [текст] / Е. С. Вентцель, Овчаров Л.А. – М.: Наука, 1988.

3. Гамоля, Л. Н. Теория вероятностей: методические указания [текст] / Л. Н. Гамоля, В. И. Жукова. – Хабаровск: ДВГУПС, 1997.

4. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2001.

5. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1975.

6. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [текст] / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1980.

7. Коваленко, И. Н. Теория вероятностей и математическая статистика [текст] / И. Н.Коваленко, Филиппова А. А. – М.: Высшая школа, 1982.

8. Колемаев, В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для экономических специальностей вузов [текст] / В. А. Колемаев, О. В. Староверов, В. Б. Турундаевский. – М.: Высшая школа, 1991.

Оглавление

Введение............................................................................................................ 3

1. Случайные события. Вероятность событий........................... 4

1.1. Элементы комбинаторики....................................................................... 4

1.2. Основные понятия теории вероятностей............................................ 8

1.3. Алгебра событий...................................................................................... 9

1.4. Частота события..................................................................................... 10

1.5. Статистическое определение вероятности...................................... 11

1.6. Классическое определение вероятности.......................................... 12

1.7. Свойства вероятностей........................................................................ 13

1.8. Геометрические вероятности.............................................................. 15

1.9. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность......... 16

1.10. Теорема сложения вероятностей..................................................... 19

1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса........................... 21

2. Повторные независимые испытания........................................ 24

2.1. Формула Бернулли................................................................................. 24

2.2. Формулы Лапласа.................................................................................. 27

2.3. Формула Пуассона................................................................................. 29

2.4. Простейший поток событий.................................................................. 31

3. Случайные величины........................................................................... 33

3.1. Понятие случайной величины............................................................. 33

3.2. Законы распределения дискретных случайных величин............ 34

3.3. Законы распределения непрерывных случайных величин.......... 36

4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.................. 41

4.1. Математическое ожидание и его свойства....................................... 42

4.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение......................... 45

4.3. Моменты случайных величин.............................................................. 47

4.4. Примеры нахождения законов распределения............................... 48

5. Нормальный закон распределения............................................ 53

5.1. Геометрический смысл параметров m и σ........................................ 53

5.2. Вероятностный смысл параметров функции распределения..... 54

5.3. Вероятность попадания случайной величины
в заданный интервал............................................................................. 55

5.4. Вероятность отклонения случайной величины
от математического ожидания............................................................ 56

6. Системы случайных величин......................................................... 58

6.1. Функция распределения........................................................................ 59

6.2. Плотность распределения................................................................... 59

6.3. Закон распределения системы двух дискретных
случайных величин................................................................................ 60

6.4. Зависимые и независимые случайные величины........................... 61

6.5. Операции над случайными величинами........................................... 61

6.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.... 65

6.9. Двумерный нормальный закон распределения............................... 68

7. Предельные теоремы теории вероятностей........................ 69

7.1. Центральная предельная теорема..................................................... 70

7.2. Интегральная теорема Лапласа......................................................... 71

7.3. Распределение частоты события....................................................... 72

7.4. Закон больших чисел............................................................................. 73

7.5. Неравенство Чебышева........................................................................ 74

7.6. Теорема Чебышева............................................................................... 75

7.7. Теорема Бернулли................................................................................. 76

7.8. Принцип практической уверенности.................................................. 77

7.9. Правило трёх сигм................................................................................. 77

Контрольные вопросы............................................................................ 77

Заключение.................................................................................................... 77

Рекомендуемый Библиографический список.......................... 77

Учебное издание

Виноградова Полина Витальевна

Гамалей Вероника Геннадьевна

Кузнецова Галина Павловна