Доказательство. Рассмотрим случайную величину

Рассмотрим случайную величину

Случайные величины Х_i независимы и каждую из них можно рассматривать как отдельный экземпляр одной и той же случайной величи н ы Х. Тогда

Из неравенства Чебышева для случайной величины следует, что

.

Учитывая полученные выше результаты, имеем:

.

Так как , то .

Поэтому .

Но вероятность не может быть больше единицы, поэтому в последнем соотношении неравенство можно заменить на равенство, что и является доказательством теоремы Чебышева.

Эта теорема обосновывает следующий способ определения математического ожидания случайной величины на основе опытных данных: нужно проделать достаточно много наблюдений случайной величины и вычислить среднее арифметическое наблюдаемых значений. Если число наблюдений велико, то почти достоверно, что, мало отличается от математического ожидания наблюдаемой величины и можно взять в качестве приближённого значения математического ожидания.

Обычно при измерении физических величин производят несколько измерений и в качестве значения измеряемой величины берут среднее арифметическое из результатов измерений. Обоснование такому способу действий даёт теорема Чебышева. Пусть мы измеряем некоторую физическую постоянную а. При измерении допускается некоторая ошибка X, и мы фактически получаем при измерении значение а + X. Если мы не делаем систематической ошибки, иначе говоря, если М(Х) =0, то М(а+Х)=М(а)+М(Х)=а. Значит, при достаточно большом числе измерений среднее арифметическое их результатов будет равно математическому ожиданию (по теореме Чебышева) и как угодно близко к а с вероятностью, близкой к единице. Таким образом, даже не точный прибор может обеспечить при указанном способе действий какую угодно точность.