Неравенство Чебышева. Доказательство ряда теорем, входящих в закон больших чисел, опирается на одно простое неравенство

Доказательство ряда теорем, входящих в закон больших чисел, опирается на одно простое неравенство.

Каково бы ни было положительное число a вероятность того, что случайная величина отклонится от своего ма­тематического ожидания не меньше, чем на a, ограничена сверху величиной , т.е.

.

Неравенство Чебышева можно записать в эквивалентной форме

,

так как события и противоположны.

Пример 7.5.

В осветительную сеть параллельно включено 25 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется а) меньше 6; б) не меньше 6.