Интегральная теорема Лапласа. Теорема.Пусть X есть число наступлений события в n независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события равна .Тогда при достаточно больших

Теорема. Пусть X есть число наступлений события в n независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события равна .Тогда при достаточно больших n вероятность того, что событие появится от до раз, равна

,

где q=1-p, Ф(х) – функция Лапласа.

Эта теорема является следствием из центральной предельной теоремы, хотя и была доказана гораздо раньше неё. В самом деле, число появлений события в n независимых опытах можно представить следующим образом:

,

где – число появлений события в i -м опыте, причём ранее (примеры 4.4 и 4.6) было показано, что и . То есть X является суммой большого числа независимых случайных величин и . Условия центральной предельной теоремы выполнены, X имеет закон распределения, близкий к

Если для этого закона распределения записать вероятность попадания случайной величины в интервал с помощью формулы (5.2), то получим утверждение теоремы Лапласа, которое использовалось ранее (подразд. 2.2).