Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие А могло наступить только при осуществлении одного из несовместных событий , образующих полную группу. В этих условиях вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности (1.8). События естественно назвать «гипотезами», поскольку можно лишь предполагать, какое именно из них произойдет и при этом появится событие А. Вероятности гипотез до опыта (так называемые “априорные вероятности”) заданы и равны:

; .

Проведен опыт, в результате которого событие А произошло. Спрашивается, как нужно пересмотреть вероятности гипотез с учетом этого факта? Другими словами, найти “апостериорные” вероятности гипотез .Определим, например, . По теореме умножения

.

Отбросив левую часть и разделив обе части равенства на Р(А), получим

.

Пользуясь формулой полной вероятности (1.7) для А, получим

. (1.9)

Аналогично выводятся формулы для остальных .

Формула (1.9) называется формулой Байеса (Бейеса).Она позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что произошло событие А. Причем, эксперимент можно повторить еще раз, используя вероятности в качестве априорных, и на основе его результатов снова переоценить вероятности. Эту процедуру можно повторять пока вероятность какой-либо из гипотез не станет близкой к единице, тогда эту гипотезу можно считать практически достоверной.