Дифференциальные уравнения. Для того чтобы все корни (*) имели

Критерий Рауса-Гурвица

(*)

Составим матрицу:

- матрица Гурвица

Теорема.

Для того чтобы все корни (*) имели необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы Гурвица были положительными.

Уравнение колебаний.

Рассмотрим пружину:

- свободные колебания

, -сила сопротивления

резонанс

Краевые (граничные) задачи.

Колебание струны.

(1)

Пусть , тогда

Значение при котором (1) имеет ненулевые решения называется собственным числом уравнения.

Соответствующие решения называются собственными функциями.

- собственные числа (1)

- собственные функции (1)

Некоторые сведения о приближённых решениях.

(1)

(2)

(1) (2)

Метод последовательных приближений.

- нулевое приближение

ТФКП

W=f(t)- функция аналитична в круге

z

a

c

Ряд Тейлора

сумма ряда (1) аналитична внутри круга сходимости.

R

a

r

r

a

R

Если

r>R => ряд не сходится нигде

если r = 0 => область сходимости будет в круге с выколотым центром

Сумма ряда внутри кольца (граница не входит) является аналитичной функцией.

a r

R

Функция f(z) - аналитична внутри кольца только z лежит между двумя окружностями

a r

z

c₂

c₂

Функция аналитическая внутри кольца

Ряд Лорана n-коэффициенты Лорана, функция аналитическая, внутри кольца разлагается в ряд Лорана.

Изолированные особые точки

Если ф-ия f(z) аналитична в некоторой области, за исключением внутренней точки, т.е жту точку можно окружить окресностью, в которой эта точка будет изолирована.

(.)a –изолтрованная слабая точка, есть окрестность такая, что функция аналитичка внутри выколотого круга.

Если функция аналитична в кольце, значит она разлогаетмя в ряд Лорана

Коэффициент А _-1- называется вычетом f(z) в а