Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид

(1)

(2)

(3)

I. не корень характеристического уравнения.

ищем в виде:

тогда

(*)

II. или , k1 k2

ищем в виде:

(**)

Ш. =k2=-p/2

ищем в виде:

(***)

2) f(x)= (Pn(x) cos x + Qn(x)sin x) n- старшая из степеней.

I. +i

= (Un(x) cos x + Vn(x)sin x)

II. +i

=x* (Un(x) cos x + Vn(x)sin x)

Пример 2.

Решение.

1)

2)

Ответ. .

Пример 3.

Решение.

1)

2)

Ответ.

Пример 4.

Решение.

1)

2)

Ответ. .

Пример 5.

1)

2)

=A cos x+ B sin x

=-A sin x+ B cos x

=-Acos x – B sin x

-Acos x – Bsin x – 2Asin x + 2Bcos x+5Acos x +5Bsin x = 2cos x

cos x(-A+2B+5A)=2cos x +sin x (B+2A-5B)

-A+2B+5A=2

4A+2B=2

2A+2B=1

B=1/5, A=2/5;

y = 2/5 cos x +1/5 sin x

y =

Ответ. y= .

Пример 6.

1)

2)

=x (Acos 2x + Bsin 2x)

=(-2Asin 2x+2Bcos 2x)x + Acos 2x+ Bsin 2x

= - 2Asin 2x + 2Bcos 2x + x(-4Acos 2x – 4Bsin 2x) + Acos 2x +Bsin 2x.

-2Asin 2x+ 2B cos 2x + Acos 2x + Bsin 2x = 0

(-2A+B)sin 2x + (2B+A)cos 2x=0.

A=0, B=1/4;

=x(1/4 sin 2x).

Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.

Ответ. Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.