Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Теорема 8



решение

решение

решение уравнения +

Доказательство.

Проверим:

ч.т.д.

Пример 7.

Решение.

1)

2)

f1(x) = x, =Ax+B

f2(x) = 3

(A+ C )` + 4 (Ax+B+C ) = x + 3

C +4Ax+4B+4C =x +3

C=3/5, A=1/4, B=0;

y=C1cos 2x + C2sin 2x + 1/4x+ 3/5

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРОВНЕНИЙ.

(1)

(2)

Т.1

Если система разрешена относительно старших производных, то можно свести к нормальному виду.

Док.

пусть y=y1, y|=y2,…, y(n-1)=yn


Сведение дифференциальных систем уравнений к линейным

;

Аналогично


()

решение относительно y2,…,yn


Подставим в ()


y| = x+y+z

z| = 2x-4y-3z

y(0)=0

z(0)=0

y|| = 1+y| +z|

y|| = 1+x+y+z+2x-4y-3z

z=y| -x-y

K=-1

y0 =e-x(c1+c2x)

2)

y* Ax+B

2A+Ax+B = 5x+1

A=5

B=-9

1=c1-9 c1=10

0=-2c1+c2+14 c2=6


Линейные системы


(1)

X=(x1,…,xn)


A(t)=

…………………………

(1) (2)

Общее решение однородной системы

x1,…,xn – частные лин. Независимые решения (2)

С1,…,Сn – произвольные постоянные

О.р. (1):

X=X0+X*

X0- общее решение однородной системы

X*- частные решения (1)

       
   


y|,…,yn – лин. Независимы =>

x|,…,xn – решение (2)

x|,…,xn лин. независимы W(x|,…,xn)

Линейные системы с постоянными коэффициентами

(1)

(2)

ищем решение (2) в виде

Если и выполняется (3), то называется собственным числом А

- собственным вектором

(4)

1) (4) имеет n корней

=> , j=1,…,n.

лин. независимые решения (2)

2) (4) имеет кратные корни.

Пусть - корень кратности

ему соответствуют собственные векторы

2.1) k=m

лин. независимые решения (2)

2.2) k<m

=> частное решение ищется в виде

3 4 -2

A= 1 0 1

6 -6 5

       
   


-1- 4 -2

1 - 1

6 -6 5-

(-3- ) ( -5 +6 ) -4(5- -6) -2(-6+6 )=0

-( +3)( 2 -5 +6 ) +8 +16

( +3)( -2)( -3) +8( -2)=0

=2 2 -9 +8=0 = 1





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 134 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.012 с)...