Теорема 8

решение

решение

решение уравнения +

Доказательство.

Проверим:

ч.т.д.

Пример 7.

Решение.

1)

2)

f1(x) = x, =Ax+B

f2(x) = 3

(A+ C )` + 4 (Ax+B+C ) = x + 3

C +4Ax+4B+4C =x +3

C=3/5, A=1/4, B=0;

y=C1cos 2x + C2sin 2x + 1/4x+ 3/5

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРОВНЕНИЙ.

(1)

(2)

Т.1

Если система разрешена относительно старших производных, то можно свести к нормальному виду.

Док.

пусть y=y₁, y^|=y₂,…, y^(n-1)=y_n

Сведение дифференциальных систем уравнений к линейным

;

Аналогично

()

решение относительно y₂,…,y_n

Подставим в ()

y^| = x+y+z

z^| = 2x-4y-3z

y(0)=0

z(0)=0

y^|| = 1+y^| +z^|

y^|| = 1+x+y+z+2x-4y-3z

z=y^| -x-y

K=-1

y₀ =e^-x(c₁+c₂x)

2)

y_* Ax+B

2A+Ax+B = 5x+1

A=5

B=-9

1=c₁-9 c₁=10

0=-2c₁+c₂+14 c₂=6

Линейные системы

(1)

X=(x₁,…,x_n)

…

A(t)= …

…………………………

…

(1) (2)

Общее решение однородной системы

x¹,…,xⁿ – частные лин. Независимые решения (2)

С₁,…,С_n – произвольные постоянные

О.р. (1):

X=X⁰+X^*

X⁰- общее решение однородной системы

X^*- частные решения (1)

y^|,…,yⁿ – лин. Независимы =>

x^|,…,xⁿ – решение (2)

x^|,…,xⁿ лин. независимы W(x^|,…,xⁿ)

Линейные системы с постоянными коэффициентами

(1)

(2)

ищем решение (2) в виде

Если и выполняется (3), то называется собственным числом А

- собственным вектором

(4)

1) (4) имеет n корней

=> , j=1,…,n.

лин. независимые решения (2)

2) (4) имеет кратные корни.

Пусть - корень кратности

ему соответствуют собственные векторы

2.1) k=m

лин. независимые решения (2)

2.2) k<m

=> частное решение ищется в виде

3 4 -2

A= 1 0 1

6 -6 5

-1- 4 -2

1 - 1

6 -6 5-

(-3- ) ( -5 +6 ) -4(5- -6) -2(-6+6 )=0

-( +3)( ² -5 +6 ) +8 +16

( +3)( -2)( -3) +8( -2)=0

=2 ² -9 +8=0 = 1