Комплексно-значная формула комплексной переменной

w=f(z(t))

w ́=f ́(z(t))∙z ́(t)

x²

x²

u=(x,y) называется гармонической в области D, u ́ +u ́ =0 (уравнение Лапласа)

Гармонические u,v называются сопряжёнными, если они удовлетворяют (1).

Аналитические функции

Функция называется аналитечской в области , если

Теорема.

Пусть аналитична в области

Пусть имеют непрерывные частные производные до 2го порядка

- сопряженные гармонические функции

Доказательство.

Аналогично -гармоник.

Свойства аналитических функций

1. аналитическая функция восстанавливается по действительной (мнимой) части.
2. значение аналитической функции внутри контура опред. её значениями на контуре
3. Аналитическая функция имеет производные любого порядка

Параметрическое задание окружности

- параметрическое уравнение окружности

Интеграл функций комплексной переменной.

L

А

В

Теорема (о независимости интеграла от пути интегрирования):

непрерывны в области.

Следующее условие равносильно:

1. не зависит от пути.

2.

3.

4.

Теорема-1 (основная теорема Коши)(для простого контура):

Пусть W=f(z) аналитична в односвязной D.

Доказать:

Доказательство:

Следовательно, интегралы равны нулю.

Теорема-2 (основная теорема Коши)(для сложного контура):

аналитична на контурах и между ними.

L

Доказать:

Доказательство: