Леммы о бесконечно малых

Лемма 1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть U (x) = (x) + (x), где lim (x) = 0, lim (x) = 0 при х а. Возьмем произвольное число > 0. Поскольку функции ( х ) и ( х ) имеют предел, то всегда можно подобрать такой интервал | х – 0 | < , что | ( x) – 0| < /2, | ( x ) – 0| < /2 и, следовательно, | ( х ) + ( х ) -0 | < . Последнее неравенство означает, что разность | U (x) – 0 | делается меньше любого , лишь только | х – а | становится меньше соответствующего , т.е. функция U (x) имеет предел в точке 0: lim U (x) = 0 при х а.

Опр. Функция y = f (x) наз. ограниченной в окрестности точки а, если существует число М > 0, такое что |f (x) | < M в этой окрестности.

Всякая функция y = f (x), имеющая предел lim f (x) = b при х а ограничена в окрестности точки а. Действительно,

| f (x) | = |f (x) – b + b| < |f (x) – b| + |b| < (x) + |b|.

Лемма 2.Произведение, ограниченной в окрестности точки а, функции на бесконечно малую при х а является бесконечно малой.

Док-во. Пусть ( x ) = f (x) (x), где | f(x)| < M и lim (x) = 0 при х а.

Т.к. функция (х) имеет предел в точке 0, то для любого числа / М>0 найдется - окрестность точки а, в которой | ( х ) – 0 | < / M и, следовательно, интервал | ( х ) -0 | = | f (x) | | (x) – 0 | < M /M = будет уже произвольной величины , что означает lim (x) = 0 при х а, т.е. произведение f (x) (х) есть б.м.в. в окрестности точки а.