Условная сходимость несобственных интегралов

Интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.

Покажем, что интеграл условно сходится.

Перейдем к пределу при . Интеграл в правой части равенства абсолютно сходится, обозначим его I.

. Поэтому интеграл сходится.

Покажем, что этот интеграл не сходится абсолютно. Справедливо неравенство . .

Переходя к пределу при , видим, что интеграл сходится (аналогично интегралу ), интеграл расходится. Поэтому интеграл расходится. Если бы он сходился, то складывая его с сходящимся интегралом 0.5 , получили бы сходящийся интеграл (0.5 ), а этот интеграл расходится.

Используя неравенство и расходимость интеграла , по первому признаку сравнения получаем расходимость интеграла . Следовательно, интеграл условно сходится.