![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
(достаточные признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов).
1 признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство
.
Если интеграл сходится, то и интеграл
сходится.
Если интеграл расходится, то и интеграл
расходится.
Доказательство. Проинтегрируем неравенство на отрезке
,
. Так как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b.
Если сходится (
= I), то при любом b > a
= I (I – конечное число).
Поэтому - монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция b имеет предел
, т.е. интеграл
сходится.
Пусть теперь расходится. Если
сходится, то по доказанному и
сходится, противоречие. Теорема доказана.
Вообще-то, все было ясно из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции. Если значения одной функции больше, чем значения другой функции, то и соответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь. И если эта площадь конечна, то и меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь бесконечна, то и большая площадь бесконечна. Но строгое доказательство не подведет, а «очевидное» иногда подводит.
2 признак сравнения. Теорема. Пусть при x>a . Если существует конечный предел
, то интегралы
,
, сходятся или расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится).
Доказательство. Из определения предела следует
.
Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл
, а, следовательно, сходится интеграл
. Если интеграл
сходится, то сходится интеграл
, а, следовательно, по первому признаку сравнения сходится интеграл
. Пусть интеграл
расходится. Если интеграл
сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл
, противоречие. Пусть интеграл
расходится. Если интеграл
сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл
, противоречие. Теорема доказана.
Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от показательной функции.
Пример. сходится по второму признаку сравнения, интеграл сравнения
.
Пример. сходится по первому признаку, интеграл сравнения
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1055 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!