Обратная функция. Пусть существует D,E,C,R

Определение

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)), " yÎE y=f(g(y)), для любого уÎЕ

Û

x=g(f(x)), " xÎD x=g(f(x)), для любого хÎD

Примеры:

1)y=x³ Û x=³Öy

D= R

E= R

2)y=x² Û x=Öy

D= R ₊ È{0}=[0;+¥)

E=[0;+¥)

D= R _- È{0}=(-¥;0]

E=[0;¥)Û x=-Öy

3)y=sinx

D=[-p/2;p/2]

E=[-1;1]

x=arcsin y

yÎ[-1;1]; xÎ[-p/2;p/2]

Функция у = f (x) называется чётной, если

1. её область определения симметрична относительно точки x = 0 (т.е. если x Î X, то и - x Î X);

2. для " x Î Xf (x) = f (- x).

Функция у = f (x) называется нечётной, если

1. её область определения симметрична относительно точки x = 0;

2. для " x Î Xf (x) = - f (- x).

Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, принято называть функциями общего вида.

Любую функцию, область определения которой симметрична относительно точки x = 0, можно единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной.

Функция называется периодической, если существует число Т ¹0 такое, что для " x Î X: 1. x + Т Î X; 2. f (x + Т) = f (x). Число Т называется периодом функции.