Определения. Если существует число МÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х<М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М)

Если существует число МÎ R такое, что для " х Î Х выполняется неравенство х <М, то множество Х называется ограниченным сверх у (числом М). Число М называется верхней границей множества Х.

Если существует число mÎ R такое, что для " х Î Х выполняется неравенство х >m, то множество Х называется ограниченным сни зу (числом m). Число m называется нижней границей множества Х.

Если существует число МÎ R такое, что для " х Î Х выполняется неравенство | х |<М, то множество Х называется ограниченным.

Теорема. Множество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено сверху и снизу.

Если множество Х ограничено сверху, то множество его верхних границ бесконечно (если число М - верхняя граница, то верхними границами будут числа М+1, М+2 и т.д.). Обозначим У множество верхних границ множества Х. Множество У ограничено снизу (любым элементом множества Х).

Возможны два случая: либо множество Х имеет максимальный элемент (например, если

Х – отрезок [0, 1], то максимальный элемент равен 1), в этом случае множество верхних границ не имеет минимального элемента; либо множество Х не имеет максимального элемента (например, если Х = (0, 1)), в этом случае множество верхних границ имеет минимальный элемент.

Определение. Точной верхней границей, или верхней гранью, множества Х, ограниченного сверху, называется максимальный элемент этого множества, если он существует, и минимальный элемент множества верхних границ, если множество Х не имеет максимального элемента.

Для обозначения применяются: символы sup X или sup{ x }.

Свойства верхней грани:

Пусть М^*= sup X - верхняя грань множества Х. Тогда

Для " х Î Х выполняется неравенство х £М^*.

Любое число, меньшее М^*, не будет верхней границей множества Х, т.е. для "e>0 $ x Î X такой, что х > М^*-e.

Аналогичным образом, если множество Х ограничено снизу, то множество его нижних границ бесконечно. Обозначим Z множество нижних границ множества Х. Множество Z ограничено сверху (любым элементом множества Х).

Определение. Точной нижней границей, или нижней гранью, множества Х, ограниченного снизу, называется минимальный элемент этого множества, если он существует, и максимальный элемент множества нижних границ, если множество Х не имеет минимального элемента.

Для обозначения применяются: символы inf X или inf{ x }.

Свойства нижней грани:

Пусть М_*= inf X - нижняя грань множества Х. Тогда

Для " х Î Х выполняется неравенство х ³ М_*.

Любое число, большее М_*, не будет нижней границей множества Х, т.е. для "e>0 $ x Î X такой, что х < М_*+e.