Отрезки. Понятие окрестности

x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] a£b

Частный случай отрезка точка

Или a£x£b – в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой.

a b

Обозначается ]a;b[ или в виде неравенства a<x<b

x

Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Обозначается: [a;b[ a£x£b

]a;b] a<x£b

Всё это числовые промежутки.

Замечание: один из концов (а или b) может быть символом ±¥.

x

///////////////] x (-¥;b] или -¥<x£b

b

x

///////////////) x (-¥;b[ или -¥<x<b

b

Вся числовая прямая – R =(-¥;+¥)

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-ε<x<a+ε Û |x-a|< ε Û (////·////) x Û О_ε(а)

ε>0 а-ε а а+ε

О_ε(а)={xÎ R:|x-a|<ε}

Проколотая ε окрестность – О^°_ε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

О^°_ε(а)={xÎ R:0<|x-a|<ε}

(////°////) x

а-ε а а+ε

Правая ε полу окрестность точки а: О⁺_ε(а)={xÎ R:a£x<a+ε}

· ///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε полу окрестность точки а: О^°_ε(а)={xÎ R:a<x<a+ε} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Левая ε полу окрестность точки а: O^-_ε(a)={xÎ R:a-ε<x£a}

(////////· x

a-ε a

Проколотая, левая ε полу окрестность точки а: О^°-_ε(а)={xÎ R:a-ε<x<a} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

О_ε(+¥)={xÎ R:x>ε} (////////// x

ε>0 ε

О_ε(-¥)={xÎ R:x<-ε} ///////////) · x

ε>0 -ε 0

О_ε(¥)={xÎ R:|x|>ε} \\\\\\) _· (////// x

x>ε;x<-ε -ε ε