Порядок которых понижается последовательным интегрированием

К этим уравнениям относятся не только уравнения второго порядка (n=2), но и уравнения любых других порядков. Интегрируя первый раз такое уравнение, мы получим производную , интегрируя второй раз – производную и так далее. Интегрируя n –ый раз получим искомую функцию у.

Определить этот тип уравнений несложно: в нем есть только производная искомой функции и функция, зависящая от х.

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: , , .

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение является ДУ третьего порядка и относится к уравнению типа (6). Интегрируя , получим уравнение второго порядка:

.

Для первой производной, имеем:

.

Наконец, интегрируя третий раз, получим общее решение:

Þ

Поскольку порядок рассматриваемого уравнения равен трем, его общее решение зависит от трех произвольных постоянных. Для нахождения частного решения необходимо использовать данные начальные условия (отметим, что их число должно быть равно порядку уравнения).

Подставляя условие в общее решение, условия и в выражение соответственно для первой производной и второй производной, получим систему уравнений для значений произвольных постоянных:

Откуда

, , .

Подставляя данные значения постоянных в общее решение, получим частное решение:

.

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .