РЕШЕНИЕ. Данное уравнение является однородным, поскольку суммарная степень переменных x и y в каждом слагаемом одинакова (равна 1)

Данное уравнение является однородным, поскольку суммарная степень переменных x и y в каждом слагаемом одинакова (равна 1). В соответствии с общим методом решения однородных уравнений делаем замену переменной:

, .

Подставляя данные соотношения в исходное уравнение, получим:

,

или сокращая на x

.

Видно, что получилось уравнение с разделяющимися переменными:

.

Интегралы от обеих частей уравнения являются табличными. Интегрируя, имеем:

, или .

Теперь возвращаемся к старым переменным, то есть делаем замену

: .

Данное выражение уже является общим решением уравнения, однако его можно привести к более простому виду. Для этого умножим обе части уравнения на х и перенесем y в левую часть:

.

Возводя теперь обе части уравнения в квадрат после элементарных преобразований, окончательно получим: .

Для получения частного решения мы должны в общее решение, вместо x и y подставить , из начального условия и определить значение С. В нашем случае начальное условие имеет вид:

, то есть , .

Подставляя данные числа в общее решение, получим:

, откуда .

Подставляя найденное значение в общее решение, получим искомое частное решение:

, или .