Подраздел 3.7

1.1) Нет. Выполним равносильные преобразования . Дальнейшие преобразования выполнять невозможно, но и ответить сразу по виду формулы на поставленный вопрос мы не можем. Значит, надо провести дополнительные рассуждения. Формула означает, что “для всякого истинным является предикат ”, а формула означает, что “для всякого истинным является предикат ”. Пусть предикат - “ четное число ” определен на множестве . Тогда формула , так как не все числа являются нечетными. Аналогично , так как не все являются четными. Поэтому мы имеем .

Этот же результат можно получить короче, если провести рассуждения относительно исходной формулы. Но он важен в том смысле, что может быть использован при решении других задач. Приведем более короткий вывод этого результата: , так как среди натуральных чисел существует четное число , а формула , так как не все натуральные числа являются четными. Поэтому .

2) Да. Так как .

3)

. Непосредственно из последней формулы нельзя ответить на поставленный вопрос. Значит, надо рассуждать, охватив при этом все возможные случаи бинарных отношений. Очевидно, отношения “ ” и “ ” все такие случаи охватывают.

Случай 1. Пусть : - “ ”, тогда , так как не существует такого натурального числа, которое было бы меньше всякого натурального числа. Среди натуральных чисел имеется число 1, но оно равно самому себе. Тогда формула по той же самой причине. Поэтому имеем импликацию .

Случай 2. Пусть - “ ”. Тогда , так как теперь действительно среди всех натуральных чисел существует число, а это число есть 1, которое любого натурального числа. Из таких же рассуждений получаем, что .

Таким образом, в этом случае имеем импликацию . У нас в обоих случаях получились импликации, равные 1, значит, исходная формула тождественно истинная.

4) Нет. Пусть предикат – “ – простое число” определен на множестве . Тогда на множестве всех простых чисел , а на множестве всех составных чисел . Формула , так как она утверждает, что всякое число является простым, а это неверно. Таким образом, мы имеем две импликации: и . А это означает, что не на каждой области исходная формула является истинной, а поэтому она и не является тождественно истинной.

3. 1) Не общезначима.

[этот результат был получен при решении задачи 1.1)].

2)Общезначима. .

3) Необщезначима.

.

Последняя фигурная скобка объединяет формулу, которая равна на основании того же результата, который был получен при решении задачи 1.1). Всё выражение свелось к некоторой формуле, которая в зависимости от предиката может принимать как истинные, так и ложные значения. А поэтому исходная формула не является общезначимой.

4) Общезначима.

.

5) Общезначима.

.