Подраздел 2.4

1. 1) Применим подстановку , получим .

2) Применим подстановку к аксиоме

, получим .

3) Применим подстановку к аксиоме , получим

├ .

4) Применим подстановку к аксиоме

, получим ├ .

5) Применим подстановку к аксиоме

, получим ├ .

2. 1) Для аксиомы сделаем подстановку

, получим доказуемую формулу

├ . (1)

Но в подразд. 2.3 мы доказали, что

├ (2)

Применяя к формулам (2) и (1) ПСЗ, получим ├ .

2) Возьмем аксиому и сделаем в ней подстановку

. Получим

├ . (1)

Но ├ . (2)

Применяя к (1) и (2) ПЗС, получим ├ .

3) К аксиоме применим подстановку

, получим

├ , (1)

но на основании аксиом и

├ , (2)

├ . (3)

Применяя к (2), (3) и (1) ПСЗ, получим

├ .

4) К аксиоме применим подстановку

, получим

├ . (1)

Но на основании аксиом и

├ или ├ ; (2)

├ или ├ . (3)

Применяя к формулам (1), (2) и (3) ПСЗ, получим

├ .

5) К аксиоме применим подстановку

, получим

├ . (1)

Но на основании аксиомы

├ . (2)

Из (1) и (2) по ПЗ получим ├ .

3. В аксиоме сделаем подстановку

, получим

├ . (1)

Возьмем аксиомы и и применим к ним сначала правило подстановки:

├

├ ,

а затем правило контрпозиции, получим

├ ; (2)

├ . (3)

Из (2), (3) и (1) по ПСЗ получим .

4. 1) По условию ├ . (1)

Используя аксиому , получим

├ . (2)

Применим к формуле (2) правило контрпозиции, получим

├ . (3)

Из формул (1) и (3) по ПЗ получим ├ .

2) Так как по условию ├ , (1)

то, используя аксиому , получим

├ . (2)

Из формул (1) и (2) по ПЗ получим ├ .

3) Так как по условию ├ , (1)

то, используя аксиому , будем иметь

├ . (2)

Из (1) и (2) по ПЗ получим ├ .

4) По условию ├ . (1)

Используя аксиому ├ , получим

├ . (2)

Применим к формуле (2) правило контрпозиции, получим

├ . (3)

Применяя к формулам (1) и (3) ПЗ получим ├ .