![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Выражения 1), 4), 5) и 6) являются формулами. Выражение 2) не является формулой, так как запись в одном кванторе двух переменных не допустима. Выражение 3) не является формулой, так как переменная в высказывание
входит связно, а в предикат
– свободно, что для формул логики предикатов недопустимо.
2. 1) .
2) .
3)
.
4) .
5) .
6) .
7)
.
8)
.
3. Высказывание 1) ложно, так как оно утверждает, что “существует такое, что для всех
истинно
”. Но так как множество
состоит из множества пар натуральных чисел
то для пары
предикат
ложен, а поэтому ложно и высказывание 1).
Высказывание 2) истинно, так как оно утверждает, что для всякого существует такое
, что истинно
. Рассматривая множество
, мы видим, что, действительно, для любого
(первого элемента любой пары) всегда найдется такой элемент
(второй элемент любой пары), что будет истинно
. А это и означает, что высказывание 2) истинно.
Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что высказывание 3) ложно (для элемента никогда не найдется такое
, чтобы удовлетворялось
).
Аналогичным образом устанавливается ложность высказываний 4), 5), 6) и истинность высказываний 7) и 8).
4. 1) Предикат тождественно ложный, так как среди множества пар натуральных чисел не найдется ни одного подмножества (каждое такое подмножество состоит из таких пар элементов, на первом месте в которых стоит одно и то же натуральное число, а все остальные элементы в разных парах – различные натуральные числа), для которого выполнялось бы строгое неравенство
.
Действительно, мы видим, что в первом подмножестве это неравенство не выполняется для пары , во втором – для пар
и
, в третьем – для пар (3,1), (3,2) и (3,3) и т.д. Это и доказывает, что предикат
является тождественно ложным.
2) Предикат тождественно истинный, так как в подмножествах пар элементов множества существует хотя бы одна пара, для которой выполняется строгое неравенство
.
3) Предикат тождественно ложный. Рассуждения аналогичны тем, которые используются в первом примере.
4) Предикат не тождественно истинный и не тождественно ложный. Действительно, для одних пар множества неравенство
выполняется, а для других нет. Это можно представить так, что если бы мы могли построить для этого предиката таблицу истинности, то в последнем ее столбце стояли бы не одни 1 или 0, а и то, и другое.
5. Формулы 2) и 7) равносильны формуле а остальные - нет. Действительно:
. Формула 2) имеет такой же вид, а формула 7) приводится к такому же виду следующим образом:
.
Остальные формулы к такому виду не приводятся.
6. 1) Доказательство обосновывается многократным применением равносильности 4) и двойного отрицания. Так, если формула содержит только кванторы существования, т.е. задана в виде , то мы можем записать последовательность равносильных преобразований:
.
Последняя формула кванторов существования не содержит.
Если в формулу кванторы существования и всеобщности входят в произвольном порядке, то, применяя равносильность 4 и двойное отрицание, мы также можем перейти к формуле, не содержащей кванторов существования. Действительно, пусть формула задана в виде . Тогда запишем последовательность равносильных преобразований:
. Таким образом, и в этом случае последняя формула не содержит кванторов существования. Совершенно очевидно, что при любом
и при любом сочетании кванторов существования и всеобщности в исходной формуле, применяя равносильность 4 и двойное отрицание, можно привести эту формулу к равносильной формуле, не содержащей кванторов существования.
2) Доказывается аналогично задаче 1), но при этом используется равносильность 3 и двойное отрицание.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 199 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!