Подраздел 2.8

1. 1) Запишем вывод из . Последней формулой в выводе является , значит, она выводима из .

2) Запишем вывод из :

[эта формула получена из аксиомы заменой на и на ], [эта формула получена из аксиомы заменой на , на и на ], . Последней формулой в выводе является , значит, она выводима из .

3) Запишем вывод из [эта формула получена из аксиомы заменой на и на ], . Последняя формула выводима из .

4) Запишем вывод из [эта формула является аксиомой ], . Последняя формула выводима из .

5) Сначала докажем, что для ├ .

После этого, применив теорему дедукции, получим искомый результат. Запишем вывод из [последняя формула получается как вывод из , доказательство которого было приведено в 2.5].

Тогда по правилу дедукции , что и требовалось доказать.

6) Запишем вывод из :

[для получения этой формулы используем закон перестановки посылок], . Последняя формула выводима из .

7) Сначала докажем, что

├ . (1)

Для этого докажем, что из ├ . Запишем вывод из [аксиома ], . Отсюда, согласно обобщенной теореме дедукции, справедлива запись (1). Теперь докажем исходное выражение. Запишем вывод из H:

[получается из аксиомы заменой на , на и на ], [аксиома ], [получается по ПСЗ из 3-х предыдущих формул]. Таким образом, получили, что последняя формула выводима из .

Примечание. При записи некоторых выводов в предыдущих задачах в квадратных скобках давались пояснения о том, как получена та или иная формула.

2. 1) Возьмем совокупность формул и покажем, что . Для этого запишем вывод из : .

Так как формула является последней в выводе, то . Тогда согласно ОТД . Можно было бы вывод не проводить, а сразу сделать заключение, что доказуема исходная формула, так как она является аксиомой .

2) Возьмем совокупность формул и покажем, что . Для этого запишем вывод из : . Формула является последней в выводе, поэтому .Тогда согласно ОТД .

3) Так как исходная формула является аксиомой , то она, так же как и формула из примера 1), является доказуемой по определению, а значит, вывод можно не записывать.

4) Возьмем совокупность формул и покажем, что . Запишем вывод из тогда согласно ОТД из того, что следует: .

5) Для совокупности формул покажем, что . Для этого запишем вывод из [последняя формула получена как вывод , доказательство которого было приведено в 2.5]. Тогда согласно ОТД из того, что следует .

Раздел 3.