Подраздел 3.3

1. Так как , то высказывания 1) и 2) являются истинными при всех .

Так как уравнение имеет два действительных корня и , то предикат принимает истинное значение только при и , и ложное значение в остальных случаях. Но тогда высказывание 3) ложно, а высказывание 4) истинно.

2. Высказывание означает, что для всякого натурального числа существует натуральное число такое, что является делителем . Действительно, мы всегда можем подобрать для любого хотя бы одно число , которое будет делиться на . Значит, это высказывание истинно.

Высказывание означает, что существует натуральное число , которое делится на любое натуральное число . Но этого, очевидно, быть не может. Поэтому это высказывание ложно.

3. Высказывание 1) ложно, так как не существует , для которого выполнялось бы равенство . Действительно, это равенство неверное, так как из этого равенства следует, что , а это неверно. Высказывание 2) ложно, так как дискриминант и уравнение действительных корней не имеет.

Высказывание 3) истинно, так как при любых .

Высказывание 4) ложно, так как, применив метод интервалов и решив неравенство, получим , т.е. для интервала неравенство не выполняется.

Высказывание 5) истинно, так как для неравенства , а для неравенства , т.е. при (т.е. хотя бы для одного неравенство выполняется).

Высказывание 6) истинно, так как для неравенства , а для неравенства , т.е. значения , лежащие в интервале удовлетворяют обоим неравенствам.

Высказывание 7) истинно, так как решением неравенства будет интервал , а для неравенства , т.е. оба эти интервала представляют все действительные числа, любое из которых удовлетворяет либо первому, либо второму неравенству. А это и означает, что истинно высказывание 7).

Высказывание 8) истинно. Действительно, высказывание 8) можно прочитать так: “Существует действительное число такое, что если , то ”. В данном случае высказыванием-посылкой в исходном сложном высказывании является высказывание о принадлежности множеству . Заключением является, очевидно, множество решений уравнения , которое состоит из двух элементов: . Выражая импликацию через дизъюнкцию, исходное высказывание можно записать в виде

. Но , а это есть множество всех действительных чисел, кроме 2 и 5. Таким образом, исходное высказывание запишется так: . Его следует читать: “Существует действительное число , которое принадлежит множеству либо ”. Но такое число среди действительных чисел имеется. Значит, исходное высказывание истинно.

Высказывание 9) ложно. Рассуждения будут аналогичными рассуждениям, приведенным в решении 8). Здесь представим лишь формальную запись:

. Среди множеств и действительных чисел имеется одно число 5, которое не принадлежит ни одному, ни другому множеству. Поэтому исходное высказывание ложно.