Подраздел 4.3

1) Первое равенство соответствует стандартной форме СПР, т.е. , второе же равенство еще нужно привести к соответствующей форме. По определению СПР, . На основании второго равенства заданной системы . Сделаем замену и обозначим . Тогда

. Таким образом, стандартная форма СПР будет иметь вид

Выполняя последовательные вычисления, найдем . Из первого равенства системы находим Из второго равенства системы последовательно находим:

;

;

.

Аналитический вид функции найдем, исходя из второго равенства заданной системы равенств:

.

Нетрудно заметить, что все значения функции вычисленные аналитически и по СПР при одних и тех же значениях аргументов, совпадают.

2) Эта задача по существу является обратной к предыдущей задаче, и ответ может быть простым: функция была выше получена по СПР из простейшей функции (оператор аннулирования), которая, согласно определению, является всюду определенной, и из функции . Эта последняя функция также является всюду определенной, так как она, в свою очередь, была получена в примере 1 подразд. 4.3 по СПР из всюду определенных функций и . Поэтому функция частично рекурсивна и всюду определена и, согласно определению, является общерекурсивной.

Однако нас должен интересовать вопрос сведения аналитически заданной функции, в данном случае к СПР.

Выполним такое сведение:

Очевидно, что можно обозначить: , а представить в стандартном виде для СПР, т.е. . Тогда окончательный вид СПР для данной функции будет

Таким образом, отталкиваясь в данном примере от аналитически заданной функции мы сводим ее к СПР, которая была исходно задана в предыдущем примере.

3) Функцию можно представить в виде системы двух равенств:

Эта система может быть записана в виде СПР так:

Из первого равенства этой СПР можно записать Из второго равенства этой СПР последовательно получим

;

;

;

;

.

Эти же результаты мы получим, если выполним вычисления непосредственно по функции при соответствующих значениях аргументов.

4) Функцию можно представить в виде системы двух равенств

Поскольку данная функции зависит лишь от одного аргумента, то для нее СПР должна быть представлена в виде (3), т.е.

Определим конкретный вид функции

.

Теперь вычислим по приведенной СПР значение функции при

;

;

;

.

5) В соответствии с определением СПР запишем:

Вычислим по этой СПР несколько значений :

;

;

;

.

Продолжая этот процесс раз, получим . Теперь найдем по данной СПР :

;

;

.

Если мы вычислим значение непосредственно по аналитическому выражению, то получим тот же самый результат: .